Er zijn een heleboel bewijzen. Mijn favoriet gaat als volgt. Het schijnt te danken te zijn aan een piepjonge Albert Einstein, maar dat schijnt moeilijk te verifiëren te zijn.

Rechte driehoeken hebben een mooie eigenschap dat je, gegeven een rechthoekige driehoek, een lijn loodrecht op de schuine zijde kunt trekken die door de rechte hoek gaat, en die lijn splitst de driehoek in twee kleinere kopieën van zichzelf. Die lijn heet de hoogte. Hier is een plaatje van hoe dat werkt. Je zou jezelf ervan moeten kunnen overtuigen dat de kleinere driehoeken gevormd door de hoogte inderdaad kopieën zijn van de grote driehoek-dat heeft te maken met het feit dat de hoeken van een driehoek bij elkaar opgeteld 180 graden zijn.

Zo, hier gaat het dan. Laten we de stelling eerst eens bekijken, niet als een formule, maar als een uitspraak over meetkunde. De stelling zegt dat voor een rechthoekige driehoek met zijden a, b en c (waarbij de schuine zijde c is), de oppervlakte van het vierkant waarvan de zijde c is, gelijk is aan de som van de oppervlakten van de vierkanten met zijden a en b. Hier volgt een illustratie. De som van de oppervlakten van de blauwe en oranje vierkanten is gelijk aan de oppervlakte van het paarse vierkant.

Om dit te bewijzen, beschouw je een willekeurige rechthoekige driehoek met zijden a, b, c, en met behulp van de hoogte, splits je deze in de kleine kopieën van zichzelf zoals we hierboven besproken hebben. Misschien wil je een pen pakken en diagrammen tekenen om het te volgen. We gaan nadenken over de oppervlakte van de kleine kopieën en van de grote driehoek, dus laten we die een naam geven. Laat A de oppervlakte zijn van de kleine driehoek met schuine zijde a, B de oppervlakte van de kleine driehoek met schuine zijde b, en C de oppervlakte van de grote driehoek (met schuine zijde c, natuurlijk). Nogmaals, teken een plaatje als je dit niet in je hoofd kunt zien.

Nu, duidelijk: A + B = C. Onthoud dat en leg het opzij.

Merk op dat de vierkanten allemaal zijden hebben die gelijk zijn aan de schuine zijde van hun overeenkomstige driehoeken. Laten we nu eens denken aan het huisje gevormd langs zijde a – dat is de driehoek met oppervlakte A en het vierkant met oppervlakte a2. Laat r de verhouding zijn tussen de oppervlakte van de driehoek in de huisvorm en de oppervlakte van het vierkant, zodat

A = ra2

Afhankelijk van hoe je de driehoek in eerste instantie getekend hebt, kan r groot of klein zijn. Het leuke van dit bewijs is dat r ons uiteindelijk helpt, ook al maakt het niet uit wat het is.

Laten we onze aandacht verleggen naar de huisvorm gevormd langs zijde b. Nu, omdat de driehoek met oppervlakte B een exacte kopie is van de driehoek met oppervlakte A, maar alleen een andere grootte (tenzij je toevallig een gelijkbenige driehoek hebt getekend, in welk geval hij ook even groot is), is de verhouding tussen de oppervlakten van die driehoek en het bijbehorende vierkant hetzelfde. Dat wil zeggen, omdat deze huisvorm gewoon een geschaalde kopie is van de eerste huisvorm, geldt dezelfde verhouding:

B = rb2

Finitief kun je zien dat dezelfde verhouding zal gelden voor de grootste huisvorm, gemaakt van de oorspronkelijke driehoek, omdat die ook gewoon een geschaalde kopie is van de kleinere.

C = rc2

Combineren we deze laatste identiteiten met de eerste vergelijking, dan kunnen we schrijven

ra2 + rb2 = rc2

Doordelen door r geeft het gewenste resultaat 🙂