Stap voor stap oplossing :

Vergelijking aan het eind van stap 1 :

 ((x3) - 22x2) - 6x = 0 

Stap 2 :

Gelijksoortige termen eruit halen :

3.1 Gelijksoortige factoren eruit trekken :
x3 – 4×2 – 6x = x – (x2 – 4x – 6)

Proberen te ontbinden in factoren door de middelste term te splitsen

3.2 Factorsen van x2 – 4x – 6
De eerste term is, x2 de coëfficiënt is 1 .
De middelste term is, -4x de coëfficiënt is -4 .
De laatste term, “de constante”, is -6
Stap-1 : Vermenigvuldig de coëfficiënt van de eerste term met de constante 1 -6 = -6
Stap-2 : Zoek twee factoren van -6 waarvan de som gelijk is aan de coëfficiënt van de middelste term, die is -4 .

Obsbservatie : Geen twee van dergelijke factoren kunnen worden gevonden !!
Conclusie : Trinomiaal kan niet in factoren worden ontbonden

Vergelijking op het einde van stap 3 :

 x • (x2 - 4x - 6) = 0 

Stap 4 :

Theorie – Wortels van een product :

4.1 Een product van meerdere termen is gelijk aan nul.
Wanneer een product van twee of meer termen gelijk is aan nul, dan moet ten minste een van de termen nul zijn.
We gaan nu elke term = 0 afzonderlijk oplossen
Met andere woorden, we gaan evenveel vergelijkingen oplossen als er termen in het product zijn
Elke oplossing van term = 0 lost ook product = 0 op.

Oplossen van een Eenvariabele Vergelijking :

4.2 Oplossen : x = 0
Oplossing is x = 0

Parabool, Bepalen van het hoekpunt :

4.3 Bepaal het hoekpunt van y = x2-4x-6
Parabolen hebben een hoogste of laagste punt dat hoekpunt heet. Onze parabool opent zich en heeft dus een laagste punt (AKA absoluut minimum) . We weten dit zelfs voor we “y” hebben geplot omdat de coëfficiënt van de eerste term, 1 , positief is (groter dan nul).
Elke parabool heeft een verticale symmetrielijn die door zijn hoekpunt gaat. Vanwege deze symmetrie zou de symmetrielijn bijvoorbeeld door het middelpunt van de twee x -uiteinden (wortels of oplossingen) van de parabool gaan. Dat wil zeggen, als de parabool inderdaad twee reële oplossingen heeft.
Parabolen kunnen model staan voor veel situaties uit het echte leven, zoals de hoogte boven de grond, van een voorwerp dat na enige tijd omhoog wordt gegooid. Het hoekpunt van de parabool kan ons informatie verschaffen, zoals de maximale hoogte die dat omhoog geworpen voorwerp kan bereiken. Daarom willen we de coördinaten van het hoekpunt kunnen vinden.
Voor elke parabool,Ax2+Bx+C,is de x -coordinaat van het hoekpunt gegeven door -B/(2A) . In ons geval is de x-coördinaat 2.0000
Inpluggen in de paraboolformule 2.0000 voor x kunnen we de y -coördinaat berekenen :
y = 1,0 * 2,00 * 2,00 – 4,0 * 2,00 – 6,0
of y = -10,000

Parabool, Grafiek van hoekpunt en X-uiteinden :

Wortelplot voor : y = x2-4x-6
Symmetrie-as (gestippeld) {x}={ 2,00}
Vertex op {x,y} = { 2,00,-10,00}
x -Tercepts (wortels) :
Wortel 1 bij {x,y} = {-1,16, 0,00}
Wortel 2 bij {x,y} = { 5,16, 0,00}

Vierkwadratische vergelijking oplossen door voltooiing van het vierkant

4.4 x2-4x-6 = 0 oplossen door voltooiing van het vierkant .
Voeg 6 toe aan beide zijden van de vergelijking :
x2-4x = 6
Nu het slimme gedeelte: Neem de coëfficiënt van x , dat is 4 , deel door twee, dat geeft 2 , en kwadratuur het tot 4
Voeg 4 toe aan beide zijden van de vergelijking :
Aan de rechterkant hebben we :
6 + 4 of, (6/1)+(4/1)
De gemene deler van de twee breuken is 1 Opgeteld (6/1)+(4/1) geeft 10/1
Opgeteld aan beide zijden krijgen we dus uiteindelijk :
x2-4x+4 = 10
Door 4 toe te voegen is het linkerlid vervolledigd tot een perfect kwadraat :
x2-4x+4 =
(x-2) – (x-2) =
(x-2)2
Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde, zijn ook gelijk aan elkaar. Aangezien
x2-4x+4 = 10 en
x2-4x+4 = (x-2)2
dan is, volgens de wet van de overgankelijkheid,
(x-2)2 = 10
We zullen deze vergelijking Eq. noemen. #4.4.1
Het vierkantswortelprincipe zegt dat wanneer twee dingen gelijk zijn, hun vierkantswortels gelijk zijn.
Noteer dat de vierkantswortel van
(x-2)2 is
(x-2)2/2 =
(x-2)1 =
x-2
Nu, als u het vierkantswortelprincipe toepast op Eq. #4.4.1 krijgen we:
x-2 = √ 10
Toevoeging van 2 aan beide zijden om te verkrijgen:
x = 2 + √ 10
Omdat een vierkantswortel twee waarden heeft, de ene positief en de andere negatief
x2 – 4x – 6 = 0
heeft twee oplossingen:
x = 2 + √ 10
of
x = 2 – √ 10

Vierkwadratische vergelijking oplossen met de kwadratische formule

4.5 Oplossen van x2-4x-6 = 0 met de Kwadratische Formule .
Volgens de Kwadratische Formule, x , wordt de oplossing voor Ax2+Bx+C = 0 , waarbij A, B en C getallen zijn, die vaak coëfficiënten worden genoemd, gegeven door :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
In ons geval is A = 1
B = -4
C = -6
Volgens B2 – 4AC =
16 – (-24) =
40
Toepassing van de kwadratische formule :
4 ± √ 40
x = —–
2
Kan √ 40 vereenvoudigd worden ?
Ja! De priemfactorisatie van 40 is
2-2-2-5
Om iets onder de radicaal vandaan te kunnen halen, moeten er 2 gevallen van zijn (omdat we een kwadraat nemen, nl. de tweede wortel).
√ 40 = √ 2-2-2-5 =
± 2 – √ 10
√ 10 , afgerond op 4 decimalen, is 3.1623
Dus nu kijken we naar:
x = ( 4 ± 2 – 3,162 ) / 2
Twee reële oplossingen:
x =(4+√40)/2=2+√ 10 = 5,162
of:
x =(4-√40)/2=2-√ 10 = -1,162

Drie oplossingen werden gevonden :