Stap voor stap oplossing :

Polynomiale Wortels Calculator :

1.1 Zoek wortels (nulpunten) van : F(x) = x5-x-1
Polynomiale Wortels Calculator is een verzameling methoden gericht op het vinden van waarden van x waarvoor F(x)=0
Rationale Wortels Test is een van de hierboven genoemde hulpmiddelen. Het vindt alleen Rationale Wortels, dat wil zeggen getallen x die kunnen worden uitgedrukt als het quotiënt van twee gehele getallen
De Rationale Wortel Stelling stelt dat als een polynoom nul is voor een rationaal getal P/Q dan is P een factor van de Trailing Constant en Q is een factor van de Leading Coëfficiënt
In dit geval is de Leading Coëfficiënt 1 en de Trailing Constant is -1.
De factor(en) zijn:
van de afgeleide coëfficiënt : 1
van de afgeleide constante : 1
Laten we eens testen ….

Polynoomwortels Calculator vond geen rationale wortels

Vraagstelling aan het eind van stap 1 :

 x5 - x - 1 = 0 

Step 2 :

Vergelijkingen van orde 5 of hoger :

2.1 Los x5-x-1 = 0 op
Punten betreffende vergelijkingen van graad vijf of hoger.
(1) Er is geen algemene methode (formule) voor het oplossen van veeltermvergelijkingen van graad vijf of hoger.
(2) Door de Fundamentele stelling van Algebra, als we complexe getallen toelaten, zal een vergelijking van graad n precies n oplossingen hebben
(Dit is als we dubbele oplossingen tellen als 2 , drievoudige oplossingen als 3 enzovoort
) (3) Door de stelling van Abel-Ruffini kunnen de oplossingen niet altijd op de conventionele manier voorgesteld worden met slechts een eindig aantal optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen, delingen of wortelextracties

(4) Als F(x) een veelterm van oneven graad is met reele coefficienten, dan heeft de vergelijking F(X)=0 minstens één reele oplossing.
(5) Met behulp van methoden als de bissectionmethode kunnen reële oplossingen benaderd worden tot elke gewenste graad van nauwkeurigheid.

Bij benadering van een wortel met de bissectionmethode :

We gebruiken nu de bissectionmethode om een van de oplossingen te benaderen. De bissectionmethode is een iteratieve procedure om een wortel te benaderen (Wortel is een andere naam voor een oplossing van een vergelijking).
De functie is F(x) = x5 – x – 1
Bij x= 1,00 is F(x) gelijk aan -1,00
Bij x= 2,00 is F(x) gelijk aan 29.00
Intuïtief vinden we, en terecht, dat aangezien F(x) negatief is aan de ene kant van het interval, en positief aan de andere kant, F(x) ergens binnen dit interval nul is
Procedure :
(1) Zoek een punt ‘Links’ waar F(Links) < 0
(2) Zoek een punt ‘Rechts’ waar F(Rechts) > 0
(3) Bereken ‘Midden’ het middelste punt van het interval
(4) Bereken Waarde = F(Midden)
(5) Als Waarde dicht genoeg bij nul ligt ga dan naar Stap (7)
Else :
Als Waarde < 0 dan : Links <- Midden
Als Waarde > 0 dan : Rechts <- Midden
(6) Loop terug naar Stap (3)
(7) Klaar!! De gevonden benadering is Midden
Volg Midden-bewegingen om te begrijpen hoe het werkt :

 Left Value(Left) Right Value(Right) 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 0.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 1.500000000 5.093750000 1.000000000 -1.000000000 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.167968750 0.005513586 1.166015625 -0.010645540 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167327881 0.000198003 1.167297363 -0.000054794 1.167312622 0.000071601 1.167297363 -0.000054794 1.167304993 0.000008403 1.167301178 -0.000023196 1.167304993 0.000008403

Volgende Midden brengt ons dicht genoeg bij nul:
F( 1,167304039 ) is 0,000000503
De gewenste benadering van de oplossing is:
x ≓ 1,167304039
Note, ≓ is het benaderingssymbool

Een oplossing werd gevonden :