クリスマスにサンタさんが子供たちにYahtzeeというゲームを持ってきてくれました。 私たちは夜によく遊んでいます。 ヤッツィーが転がると、子供たちは大はしゃぎです。 このブログでは、Yahtzeeの出目の確率について調べます。

Yahtzeeは6面ダイス5個で行うゲームです。 プレイヤーはサイコロを振って、その結果を調べ、好きな数だけサイコロを残し、残りを再投入することができる。 2回目のサイコロを振った後、このプロセスを繰り返す（必要であれば、1回目に振ったサイコロを拾い集めることもできる）。 最大3回まで振った後、サイコロの目が様々なカテゴリーに分類され、得点化されます。

前提

ここでは、プレイヤーが賢いプレイヤーで、各決定ポイントで最も賢い再ロールとホールドの選択をすると仮定します。 サイコロは5つあるので、1つ目のサイコロがどんな数字を出しても、2つ目のサイコロが同じ数字になる確率は1/6です。

したがって、1回の出目でヤッツィーが出る確率は、1/6×1/6×1/6×1/6＝1/1296となる。

しかし、3回の出目と持ち点で、少し複雑になっている。 毎ターン振るサイコロの数は変更可能で、考えられる組み合わせはたくさんあります。 各ロールの開始時のサイコロの状態は、サイコロの振り方に依存しないので、私のお気に入りのツールであるマルコフ連鎖を展開する絶好の機会です (これについては、以前のキャンディランドとシュートとはしごについての投稿を参照してください)。 この練習は遷移行列の作成を非常に簡単にします（この点については私を信じてください）。 それでは…

サイコロ2個

これはつまらないケースである。 2つのサイコロの振り方は2パターンしかない。 一致するか、しないかです。 2つのサイコロのうち2つ目が1つ目と一致する確率は1/6で、逆に一致しない確率は5/6です。 もちろん、確率は足し算で1でなければなりません（2つの事象のどちらかが必ず起こる）。

別の見方として、2つのサイコロを振るときに36通りの組み合わせがあります。 1.1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6}の6つの組み合わせは同じ数字で、30の組み合わせはサイコロが異なっています。 A,A}のように同じになる確率は6/36、{A,B}のように異なる確率は30/36です。

3つのサイコロ

少し複雑になりますが、それほどでもありません。 ここで、3つのサイコロの結果には3種類の可能性がある。 全部同じか、全部違うか、ある数字が2個と別の数字が1個です。 3つのサイコロの振り方は216通り（6×6×6）あります。

すべて同じになる確率は、1/6×1/6＝1/36と簡単に計算できます（2番目のサイコロは6分の1で最初のものと一致し、3番目のものはまた、6分の1で一致する）。

あるいは、216通りあるサイコロの目のうち、全部が同じ場合は、{1,1,1}, {2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6} という6通りあると想像できます。

全部異なる確率は次の論理で算出されます。 1個目のダイスは好きな数字になり、2個目のダイスは1個目と同じ数字にならない確率が5/6です。 最後に、3つ目のダイスが最初の2つと異なる数字になる確率は、4/6である。 つまり、すべてのサイコロの目が異なる確率は、5/6 x 4/6 = 20/36であり、単純化すると120/216となる。

3つのサイコロの出方の確率の合計は1.0になることが分かっているので、2つのサイコロが同じ{A,A,B}である確率は90/216（1-6/216-120/216）であると推論することができるのです。

(これを納得したい人はこう考えてください。 Aがありうる値は6つ、Bがありうる値は5つ、どのダイスがBになるかは3つの選択肢があります。これは216のうち6×5×3＝90通りの組み合わせです）

4つのダイス

少し複雑になってきたね。 全部同じ、全部違う、3種類、2つのロットで2つのペア、2つの異なる1つのペアがあります。

4つのサイコロの配置は1296通りあります（6×6×6×6）。

ここで特に注意しなければならないのは、ダブルカウントにならないようにするためです。 2組のロットを数えるとき、{5,5,5,5}を2組のダブル5としてうっかり数えてしまい、{A,A,B,B}のバケツに入れてしまわないように気をつけなければなりません。 ダブルカウントすると、確率は1.0より大きくなります！

上の表の導き方は、いろいろな方法で行うことができます。 大学で数学を勉強した人なら、順列を計算するために二項展開に手を伸ばすかもしれません。 あるいは、リスク分析のページで説明したように、組み合わせの数は非常に少ない (わずか 1296) ので、単純にコードですべての組み合わせをブルートフォースして、それらをカウントすることもできます。

これらの数字の導出を通して、その数字が正しいことを自分自身で確信することは、実際には良い精神的な運動となります。 たとえば {A,A,A,A} は、2 番目、3 番目、4 番目のダイスが 1 番目と一致する確率は 1/6×1/6×1/6 です。 (別の考え方として、一組の4が出るのは6通り＝6/1296)。

一組の3の場合{A,A,A,B}はAが出る可能性が6つ、Bが出る可能性が5つ、サイコロBの位置が4つで6×5×4＝120/1296となります。

すべてのサイコロが異なる{A,B,C,D}の場合、2個目が1個目と異なる確率は5/6、3個目がユニークである確率は4/6、4個目は3/6である。 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296。

余談ですが、サイコロを4つ振ったとき、最も可能性が高いのはペアが出ることで、72より大きい確率があります。少なくともペアが出る確率は2% (720+90+120+6)/1296

5個

さて、少し忙しくなってきた! サイコロ5個で7776通りの組み合わせがある。 その結果を以下に示す。 簡潔さのために、ここですべてを導き出すつもりはなく (たぶん将来のブログ記事で)、マルコフ連鎖に戻ることができるように、単に結果を示します。 ルールでは、フルハウスは25点で、フォーオブアカインドは（最大でも）30点（すべての6 – ヤッツィーボーナスを除く）なので、フルハウスはフォーオブアカインドの2倍で、簡単に点が取れます！

面白い注意 – 5つのサイコロを使うと、最初のロールでペアかそれ以上が出る確率は7056/7776（90.7%）

マルコフに戻る

マルコフ分析を行うには、各状態間を移動する確率を定義する遷移行列を作成する必要があります。

状態として、セット内の一致するサイコロの数を選択するので、5つの状態になります。 1,2,3,4,5（ここで、「1」の一致するサイコロは、シングルトンとも表現できる）。 9465>

	この行列は上三角形になる(賢いプレーヤーを想定しているので、スリーオブカインドが出ても、ヤッツィーになるためにこの一部を再ロールしようとは言わない!?)。 ここに遷移マトリクスがあります。 我々は’?’を含む各位置に、列番号で表される状態から行番号で表される状態へ移動する確率を入力する必要がある。 (それ以外の場所の確率は0である）。 それでは…
	最初の数項目は簡単に埋めることができますね。 状態5から状態5に移行する確率は1.0 一度ヤッターを達成したら、それをキープしてそれ以上サイコロを振らないので、100%の確率でこの状態を維持する！ 現在4つのマッチングサイコロがある場合、正しい数字を振って5にする確率は1/6、それに応じて状態4に留まる確率も5/6になります。 この行列の行の合計は1.0（何かが起こらなければならず、それはこれらの状態変化のいずれかになる）なので、遷移行列の確率的性質は維持される。
	状態3については再ロールすべきサイコロは2つで、36通りの可能性がある組み合わせとなる。 (上記のコンビナートの項に戻る) 両方のサイコロが現在のスリーオブカインドと一致してヤッツィーを作る確率は1/36であり、この確率は3行目と5列目に配置される。 次のダイスでまだスリーオブアカインドが出る確率は25/36です（1個目のダイスで外れる確率5/6と2個目で外れる確率5/6の掛け合わせ）。
	少し難しくなってきましたので、スピードを落とします。 状態2から状態5になるには、再出目した3つのダイスすべてが現在のペアに一致することが必要です。 これは確率1/216（1/6×1/6×1/6）で発生します。 同様に、何も揃わない状態（状態1）から状態5になるのは、一度にヤッツィーを振るのと同じです（すべてのダイスを振り直すため）。 これは1/1296で、(1/6×1/6×1/6×1/6)として計算される。
	さらに二つの係数を埋めればよい。 運悪く何も揃わなかった場合（状態1）、すべてのサイコロを振り直すと、再び何も揃わない確率は120/1296（これは2個目のサイコロが揃わない確率が5/6、次に3個目が4/6、4個目が3/6、5個目が2/6） 一度に4種類振る確率は25/1296（これは150/7776です。 コンビナートの項に戻って思い出してください。 これは4つのダイスが同じになることで計算されます：1/6×1/6×1/6、最後のダイスが5/6と一致しない、これが集合{A,A,A,A,B}のBの5箇所の可能性で5通りの形があります。 はっきりしないが、一番上の列の確率（何もそろわない状態から他の状態に変わる）は、最初の出目の結果の確率である。
	一度に3種類出る確率は 250/1296 である。 これは少し計算が難しいので、注意しなければならない。 これは、{A,A,A,B,B}と{A,A,A,B,C}の2パターンのうちどちらかで発生します。 上のコンビナートの項を参照すると（役に立つと言ったのを覚えていますか）、{A,A,A,B,B}は300/7776回発生し（フルハウス）、{A,A,A,B,C}が発生することが分かります。 (スリー・オブ・ア・カインド）は1200/7776で発生します。 これを足すと1500/7776となり、250/1296になります。 この列の最後の要素（ペアの獲得）を埋めるには、またまた注意が必要です。 考えるべきは2つの組です。 {A,A,B,C,D}と{A,A,B,B,C}です。 (Single PairとTwo Pair)です。 ヤッツィーを目指すので、シングルペアの他にペアの1つを振ります。 ペアが出る確率は、1800/7776＋3600/7776＝5400/7776または900/1296）。 また、この列の確率をすべて足すと1.0（120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 + 1/1296）になるので、ほっとしますよね。
	ペア（状態2）からフォーオブアカインド（状態4）に移行するのは確率15/216です。 ダイスが1つ合う確率は1/6、もう1つ合う確率は1/6で、最後のダイスが合わない確率は5/6です。 5/6のサイコロがどれになるかは3通りあるので、最終的な確率＝3×1/6×1/6×5/6＝15/216.9465>
	さて最後の厄介な2題目です。 ネットで少し読むと、ここで計算を誤る人が多いようです。 複雑なのは、3つのサイコロを振り直すときに、自分の狙いについて「飛び道具」を出したくなることがあるからです。 例えば、最初の出目でペアを出し、そのペアを残したまま3つのサイコロを振り直し、その3つのサイコロの目がすべて同じだった場合（ただしペアと同じでなければヤッツィー！）、次の出目ではスリーオブカインドを残し、ペアを出し直したくなるものです。 このように、微妙に確率が変化するのです。 3つのサイコロが確率1/6×1/6＝1/36＝6/216ですべて同じになることを3つのサイコロのコンビナートで思い出しましたが、このうち1つはこの出た目がペアと同じになる（ヤジが出る）ので、この場合を差し引く必要があるのです。 したがって、ツーオブアカインドからスリーオブアカインドに変換される確率は、6/216 – 1/216 = 5/216となる。

ペア（状態2）からペアのまま（状態2）に移行する係数を完成させるには、その基本確率が必要で、単純に5/6×5/6×5/6（3つのサイコロがすべてペアに合わない）でいいのだそうです。 で、ここから、この3つのサイコロがすべて同じでヤッツィーを形成しない確率（5/216）を引く必要があるので、この要素の最終結果＝125/216 – 5/216 = 120/216となります。

同様に、一組の状態2から三組の状態3への遷移確率についても、このトリックの逆を行う。 ここで、状態2から状態3への移行基本確率は75/216（サイコロを3つ振り、1/6の確率で一致、次に5/6の確率で外れが2つ、これが実現できる組み合わせは3×1/6×5/6×5/6となる）である。 この基本確率75/216に、この別ルートで3種類になったという上からの5/216を加える必要があります。

こうして、状態2から状態3への遷移行列を完成するために必要な最後の要素は75/216 + 5/216 = 80/216です。

この列の確率の合計は1.0！という計算も安心感がありますね。 (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216).

これで遷移行列は完成です！

行列の乗算

ここで恒等列ベクトルを入力し、遷移行列と乗算します。 その結果、サイコロがどのような状態になるかの確率を表す行ベクトルが出力されます。 この出力を再び入力とすると、今度は2回目のサイコロを振ったときの確率の重ね合わせが出力される。 3回振って（またはそれまでに）Yahtzeeを得る確率を得るために、最後にもう一度多重して、最終出力ベクトルのfirth要素（状態5）の結果を読みます。

（ここから先は、分数の入力と読み取りが面倒なので、確率を表すのに小数/パーセントに切り替えています）。

結果

ヤッツィーが出る確率は4.6029%

きれいなグラフ

ヤッツィーを振り損ねた場合、もう一度振ったらどうなるか？ (私の子供たちは時々そうしようとします！）そして、もう一度？ さらにもう一回？ …

以下は、n回ロールしたときにYahtzeeが出る確率のパーセンテージを示したグラフである。 x軸はロール数、y軸は確率のパーセンテージです。

曲線は100%に漸近し、ロール#10で50%を超えます。 95％の確率でヤッツィーを出すには23回の出目が必要である。