証明はたくさんあります。 私のお気に入りはこんな感じです。

直角三角形があるとき、直角を通る斜辺に垂直な線を引くと、その線が三角形を2つに分割する、というきれいな性質があります。 この線を高度と呼びます。 これは、その仕組みの図です。 高度によって形成される小さな三角形は、確かに大きな三角形のコピーであると納得できるはずです。それは、三角形の角度を足すと180度になるという事実に関係しています。 まず、この定理を公式としてではなく、幾何学に関する記述として考えてみましょう。 この定理は、辺がa,b,cの直角三角形（斜辺はc）に対して、辺がcの正方形の面積は、辺がaとbの正方形の面積の和に等しい、と言っています。 図解はこちらです。 青とオレンジの正方形の面積の和は、紫の正方形の面積に等しい。

それを証明するために、辺がa、b、cの任意の直角三角形を考え、高度を使って、上で述べたように、それ自体の小さなコピーに分割します。 ここで、ペンを持って、図を書いて、一緒に追っていくとよいでしょう。 小さなコピーと大きな三角形の面積を考えるので、それらに名前をつけてみましょう。 A を斜辺 a の小さな三角形の面積、B を斜辺 b の小さな三角形の面積、C を（もちろん斜辺 c の）大きな三角形の面積とします。 ここでも、頭で理解できない人は絵を描いてみましょう。

さて、はっきりと。 A + B = Cです。これを覚えておいてください。

正方形はすべて対応する三角形の斜辺と同じ辺を持っていることに注意してください。 つまり、面積Aの三角形と面積a2の正方形です。 家の形の三角形の面積と正方形の面積の比をrとすると、

A = ra2

最初に三角形をどう描いたかによって、rは大きくも小さくもなるのです。 この証明の面白いところは、r が何であるかは問題ではないのに、結局は我々を助けてくれることです。

ここで、面積 B の三角形は面積 A の三角形の正確なコピーで、大きさが違うだけなので（たまたま二等辺三角形を描いた場合は、大きさも同じ）、その三角形とそれに対応する正方形の面積比は同じになります。 つまり、この家の形は最初の家の形の縮小コピーに過ぎないので、同じ関係が成り立ちます：

B = rb2

最後に、元の三角形から作った一番大きな家の形も、小さいものの縮小コピーに過ぎないので、同じ関係が成り立つことが分かると思います。

C = rc2

これらの恒等式を最初の式と組み合わせると、

ra2 + rb2 = rc2

rで割ると目的の結果が得られる 🙂

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