10の戦場で戦争を戦うと想像してください。 あなたと相手はそれぞれ200人の兵士を持っており、できるだけ多くの戦いに勝つことが目的です。 あなたならどのように兵を配置しますか？ もし、各戦場に20人ずつ均等に配置したら、相手は自軍の兵力を集中させて、簡単に大半の戦いに勝つことができます。 自分で数カ所を制圧することもできますが、勝てる保証はありませんし、残った戦場は守りが手薄になります。

ここで、相手が自軍だけでなく自軍の部隊も展開できる力を持っているとします。

政治の戦争では、この部隊を配置する力は、党派的利益のために選挙区を操作する古くからの慣習であるゲリマンダーから生まれます。 誰がどこに投票するかを決めることで、政治家は自分たちに有利になるように状況を変え、戦いが始まる前に相手を打ち負かすことができます。

1986年に、最高裁判所は極端な党派ゲリマンダーを違憲と判断しました。 しかし、不公正な選挙区地図を特定するための信頼できるテストがないため、裁判所はまだ何一つ取り消していません。 現在、全米の最高裁判所がウィスコンシン州の州議会選挙区地図に対する法的異議申し立ての賛否を問う中、数学者は選挙の公平性を求める戦いの最前線に立っています。

単純な数学は、陰謀を企む政治家が自分の政党に圧倒的な影響力を与える選挙区を描くのに役立ちますが、数学もこうした状況を特定し是正するのに効果的です。 この夏、数学者の Moon Duchin が率いる Metric Geometry and Gerrymandering Group がタフツ大学に集まり、ゲリマンダーを分析し、対処するための新しい数学的ツールについて議論されました。 効率性のギャップ」は、最高裁で検討されているいくつかのツールの核となる単純な考え方である。 この概念とその影響のいくつかを探ってみましょう。

まず、200 人の有権者がいて、そのうち 100 人が政党 A に、100 人が政党 B に忠実であると想像することから始めましょう。 この州は4人の代表を選出する必要があるため、同じ選挙人数の4つの地区を作成しなければならないとします。

あなたが有権者を好きな地区に割り当てる権限を持っていると想像してください。 もしあなたが政党Aを支持するならば、100人のAの有権者と100人のBの有権者を4つの選挙区にこのように分配するかもしれない。

30の4つの選挙区に分配する。

このように構成した地区で。 政党Aは4つの選挙のうち3つ勝つ。 もちろん、政党Bを好むのであれば、このように有権者を分配してもよいでしょう。

ここにある。 となり、政党Bが3勝する。

どちらのシナリオでも、同じ嗜好を持つ同じ数の有権者が、同じ数の選挙に投票していることに注目しよう。 選挙区内の有権者の分布だけを変えれば、結果は劇的に変化する。 投票区を決定する能力は多くの力を与え、いくつかの簡単な計算に参加するだけで、選挙での優位性を生み出すことができます。

一方の政党に優位性を生み出すのではなく、その力を使って公平な選挙区を作りたいとしたらどうでしょう。 まず、「公平」とは何かを判断する必要がありますが、勝者と敗者で公平に対する考え方が異なることが多いため、これは難しいことです。 しかし、「公平」が何を意味するかについていくつかの仮定から始めると、異なる有権者分布の公平性を定量化することができる。 これらの仮定とその意味するところについては議論があるかもしれないが、数学的モデルを採用することで、異なるシナリオの比較を試みることができるのである。 効率性のギャップは、有権者分布の公平性を定量化するアプローチの 1 つです。

効率性のギャップを理解するには、一連の関連する選挙で、すべての票が同じ影響を持つわけではないという観察から始めることができます。 いくつかの票は大きな違いを生むかもしれないし、いくつかの票は “無駄” と見なされるかもしれない。 無駄な票の格差が効率格差である。 これは、無駄な票が競合する政党間でどれだけ均等に、あるいは不公平に配分されているかを測定するものである

では、何が無駄な票とみなされるのだろうか。 大統領選挙におけるカリフォルニア州の役割を考えてみよう。 1992年以来、カリフォルニア州は常に民主党の大統領候補を支持してきた。 したがって、カリフォルニア州の共和党員は、ほぼ間違いなく負ける候補を支持していることを知っている。 もし、フロリダ州のような補欠選挙に投票することが許されるなら、彼らの一票はより大きな違いを生むかもしれない。 共和党の観点からは、その方がより効率的に票を使うことができます。

結果として、カリフォルニア州の民主党の有権者も、自分の票が無駄になっているという同様の議論をすることができます。 カリフォルニアでは民主党の候補者が地滑り的に勝利する可能性が高いので、彼らの票の多くも、ある意味で無駄になっているのである。 候補者が51％の得票率でカリフォルニアに勝とうが、67％の得票率で勝とうが、結果は同じである。 このように、効率性のギャップという文脈では、2種類の無駄な票がある。それは、負ける候補者への票と、勝利に必要な票を超えた勝利候補者への票である（簡単のために、技術的には引き分けになりうるが、勝利の閾値を50パーセントとする；各議会地区の投票者が何十万人もいる以上、実際に引き分けることはまずありえない）。 多選挙区制の選挙では、各政党がそれぞれ無駄な票を持つ可能性が高い。 効率性のギャップは、各政党の無駄票の合計の差を、総投票数に対する割合で表したものである。 (負の値でないことを保証するために、可能な限り大きい方の数字から小さい方の数字を差し引く。 差の絶対値を取ることもできます）

4 地区のシナリオに戻り、その効率性のギャップを調べてみましょう。 私たちの最初の分布は次のようになった。

このシナリオの場合。 Bの票のうち75票が無駄になる。 60票は敗因となり、4区で勝つために必要な25票より15票多い。 Aの票は25票しか無駄になっていない：各勝利に5票の追加票と10票の負け票。 無駄な票の差は75 – 25 = 50なので、ここでの効率性の差は50/200 = 25%である。 Bの方が無駄票の数が多いので、ここでは25%の効率格差がA党に有利であると言う。 2 番目のシナリオでは、数字が逆になり、25%の効率格差は今度は政党 B に有利になります。

効率格差は、分布の公平性を感じ取ることができるのでしょうか。 さて、もしあなたが選挙区を作る力を持っていて、自分の政党に勝利をもたらしたいのであれば、あなたの戦略は、自分の政党の無駄な票を最小化し、相手の無駄な票を最大化することでしょう。 そのために、「パッキング・アンド・クラッキング」と呼ばれる手法が採用される。 反対票を少数の譲歩した選挙区に集め、残りの票を割って残りの選挙区に薄く広げ、その影響を最小にするのである。 この方法は当然大きな効率格差を生むので、より公平な分布はより小さいと期待できるかもしれない。

200人の有権者を10等分した状態を想像して、効率格差をより深く見てみよう。 政党Aが10選挙区のうち9選挙区を制する、次のような有権者分布を考えてみる。

表面上では。 これは、有権者の公平な配分のようには見えませんね。 効率性のギャップは何を語っているのだろうか。

このシナリオでは、政党Bのほぼすべての票が無駄になっている。9つの選挙区でそれぞれ9票ずつ負け、1回の勝利で9票が余り、合計90票が無駄になっているのだ。 A党の有権者はもっと効率的で、無駄な票は合計10票だけです。 90 – 10 = 80の無駄票の差があり、効率の差は80/200 = 40%で、政党Aに有利である。

政党Aが10選挙区中7区で勝利した次の分布と比較する。

こちらです。 無駄票の集計はB党70票、A党30票となり、40/200=20%の効率格差が発生します。 一見、より公平な配分は、より小さな効率性のギャップとなる。

最後の練習として、この選挙区の均等割りを考えてみよう。

d3

対称性だけで答えを示唆しているのである。 そして、計算で確認する。 各政党に50票の無駄票があれば、効率性のギャップは0％になる。 ここで、0％の効率格差は、独立した公平性の概念に対応することに注目しよう。 すなわち、州内の有権者が両党に均等に分かれている場合、各党が選挙の半分を獲得することは合理的であるように思われる。 理解や計算が容易で、透明性があり、その解釈は他の公平性の概念と一貫している。 単純なアイデアだが、ゲリマンダーの研究に様々な複雑な方法で利用されている。 例えば、数学者は現在、シミュレーションを使って、ある州の何百万という理論上の選挙人名簿を検討し、考えられるすべての効率性の格差の分布を調べている。 これは、他の可能性に対して現在の地図の公正さを評価するためのコンテキストを作成するだけでなく、より公正な代替案を提案するために使用される可能性もあります。

私たちの例で想像した方法で、有権者が実際に地区に割り当てられることはありませんが、ゲリマンダーの実践は同様の結果を達成します。 選挙区の境界線を戦略的に引き直すことで、ゲリマンダーは投票分布を操作し、不均等な選挙戦の場を作り出すことができる。 このような不公平な争いは、私たちの統治のあり方に影響を与え、多数党の現職議員が何度も再選を果たすのを助ける。 今回の最高裁での裁判は、潜在的に不公平な地図の一つに過ぎない。 効率性のギャップのような客観的な数学的ツールは、ゲリマンダーを根絶し、我々の政治的戦場のバランスを保つ唯一の方法かもしれません」

Doing the Political Math PDFワークシートをダウンロードして、これらの概念を練習したり、学生たちと共有したりできます。