なぜ微積分を勉強するのか
微積分入門
第1章 はじめに
- 第1節 – なぜ微積分を勉強するか
- 第1節.2 – なぜ微積分を勉強しないのか
第1節.微積分
Section 1.1 – Why Study Calculus
学生としてあなたはおそらく微積分を、学校を通るために必要な非論理的な方程式の暗記の一つと考えていることだろう。 学習した「仮定のちんぷんかんぷん」な内容を使うよう要求されることは決してないと思っていることでしょう。 その結果、哲学的な無関心でこの問題に取り組み、治すことのできないものに耐えるように自分を適応させます。
おそらく、この悪い感情の背景には、微積分が現実世界でのあなたの存在に必要なツールであるという信念があるのでしょう。 成功した存在をどのように定義するかにかかわらず、微積分の理解はあなたの幸福に不可欠なものではありません。 実際、科学者になるために微積分が必要だと主張するのは言い過ぎである。
結局のところ、多くのプロのエンジニアは、このテーマについて自分の無知を認めることをためらわないのである。 そのようなエンジニアの微積分の理解は、方程式を知っていることと、その使い方を知っていることに限られる。 もし、エンジニアが経験則に基づいた感覚を持っているならば、数字の計算はそれほど重要ではありません。
これまでのところ、この紹介は、微積分の勉強についてあなたがすでに感じていること、つまり、意味のない時間の無駄であることを確認することにのみ成功しています。 他の人が微積分を全く理解していないのに、なぜあなたは微積分をわざわざ学ばなければならないのでしょうか。 微積分には，暗記，操作，フラストレーションの他に何があるのでしょうか？ これ以上疑惑を深めることなく、最初の質問に戻り、純粋に非物質的な観点から答えてみましょう。 この質問には、「微積分学とは何なのか」という別の質問で答えるのが最もよい。 この質問に簡潔かつ説得力のある形で答えるのは非常に難しく、そのためにはこの本全体をほんの数行のテキストに言い換える必要があるからです。 微積分が応用されている場面をいくつか紹介することもできますが，そうすると，実用的な応用と数学の理論が偶然に結びついたものであるという誤った印象を与えることになります． 私が提供できる最も簡単な定義は，微積分は数学的に定義された変化の研究である，というものである． この定義には2つの単語があり，それを理解するためにはさらに説明が必要である． これらの言葉は、数学と変化です。
数学とは何でしょうか？ 本質的に数学は、科学の言語にほかならない。 科学は自然の体系的な研究である一方、数学は自然を表現するために使用されるコミュニケーションの簡潔な形式である。 人間の理性の能力は、彼が観察し、解剖し、自然やその進行中のすべてのプロセスを仮定することができ、この秩序ある分析の最終結果は、数学です。 しかし、科学と自然とは何を意味するのだろうか。 一般化によってのみ答えられる質問を続けるよりも、私たちは人間についての研究からこの微積分の研究を始めましょう
何が人間を行動させ、考え、感じ、動き、機能させるのか？ 哲学という科目は、このような質問に答えることに完全に専念しているが、しばしば答える用意のあるもの以上の質問をする。 私たちを取り巻く生活は、不可能と思われることや理解できないことに対して、常に私たちに生き、対応するよう挑んできます。 私たちは、判断を必要とするジレンマに直面しています。 しかし、私たちが生きている倫理や道徳の規範は、皮肉な矛盾の集合に過ぎないことが判明します。 私たちは、混沌の海に囲まれていることに気づく。 人生は、この海のofconfusionを通して私たちを運ぶ、目的地で私たちをドロップするためにどこにでも停止することはありません。 その結果、人生は意味のないものに見えてくる。
人間はこのような無力な存在に縛られているのだろうか。 正直なところ、その答えは誰にもわからない。 しかし、心の中に希望を見いだすことはできる。 思考力、理性、論理は、人間が人生をコントロールすることを可能にし、最終的には悟りと知恵への道しるべとなるものである。 アリストテレスは、幸福は心を育てることによってのみ達成されると考えていた。 そして、この能力の成長が彼に優位性を与えたように、その発展が彼に充足と幸福を与えると推測されるのである。
このことは、理性をどのように定義するかという問いにつながっている。 これは、思考はどのように行動を定義するのか、という問いと同義である。 子供の頃、あなたは自分の行動をほとんど制御できなかった。 自分の行動や身の回りに起こることの背後に、何か目的があるようには思えなかったのです。 5655>
自由意志という考え方は、人間の行動に対してより妥当な説明を提供する。 それは、人間にはある行動方針を決定する選択の自由があるというものである。
決定論として知られる哲学の一部門は、自由意志をさらに一歩進めて、なぜ人間がある行動をとるかについて説明する。 人間がある状況に直面したとき、どのような行動を取るかは、経験、個人的な興味や好みに基づいて決定される。 このように、人間が下す決断は、すべて過去の経験に影響されているのである。 意志はそれ自体で自由に行動できるわけではありません。 例えば、私がこの本を書こうと決めたのは、衝動的な直感に基づくものではなく、私がさらされ、反応した状況の集大成に基づくものである。 基本的に決定論は、私たちの人生は、どのように生きるかにかかわらず、決してその進路を変えることができないほど、あらかじめ決められていると言っているのです。 あるフランスの思想家が言ったように、「我々は変化するが、同じであり続ける」のである。 この言葉の裏には、もし私たちの過去が決して変えられないのであれば、私たちの未来は常に同じままであろうという論理がある。 5655>
科学と芸術が分かれるのは、この点である。 科学者にとっては、決定論は人間の生活を十分に正確に説明するものであり、それは、起こることはすべて、一定の理由があって起こるというものである。 これらの理由を観察し、理解することが科学者の仕事となる。 しかし芸術家は、決定論を「人生のすべてはあらかじめ決まっているのだから、人生は無意味だ」と解釈する。
人生には意味がないかもしれないが、人間の本質と心の神秘的な深さを探ることによって、この言葉を問い直すことが芸術家の目標である。 おそらく、人生の完全なランダム性が、私たちに不変の運命を無視させるのでしょう。 どんな人間でも、自分がさらされる出来事をコントロールすることはできません。 運命は、自分自身に何が起こるか分からないので、意味を失い始める。 一方、自然の研究は、より正確で、無関係なさまざまな要因に影響される可能性が低い。 自然界では、すべての行動、現象、変化は、慎重に分離し、個別に研究できる少数の要因に依存している。 科学は、特に、これらの相互作用するシステムを分析し、それらを正確に説明することができる仮説を形成することである。 これらの物体は、その特性とともに、研究の焦点となる。 そのユニークな相互作用を論理的に説明する試みは、架空の外的要因ではなく、対象そのものに由来するものでなければならない。 推論と観察を通して、自然は理解され、現在から未来を決定することができるのである。 シャーロック・ホームズがワトソンによく言っていたように、”君は見ているが、観察していない！”ということだ。 人間はしばしばこの単純な自然の法則を理解できず、自然に起こるあらゆる現象を神や天、あるいは超能力を持った神秘的な物質のせいだと考えてしまうのです。 真実を理解し、受け入れるには、心を開き、批判することが必要です。 シャーロット・ブロンテは、人気小説「シャーリー」の中で、この人間の皮肉な欠点をユーモラスに書いています。 あなたが実際の、単純な、真実を提示するときはいつでも、それはどういうわけか嘘だと糾弾される。 このようなことが世の中の流れなのだ。
科学は無知と欺瞞によって妨げられるだけでなく、疑似科学者の仕事によって混乱させられてもいる。 この疑似科学者については、スペインの哲学者ホセ・オルテガが、現代西洋文明についての驚くべき著書『大衆の反乱』の中で次のように記述している：
「…1890年までに第3世代が知的世界の司令塔となり、歴史上前例のないタイプの科学者を発見することになる。 彼は、日常的に忠実な人間が知っていなければならないことのうち、ある特定の科学についてだけ知っている人であり、その科学についてさえ、彼が研究者として活動している限られた領域内だけでよく知ることができる。 彼は、自分の狭い分野の外にあるものを開拓しないことに利点があるとまで主張し、一般的な知識に対する好奇心はアマチュア、ディレッタントのしるしであると宣言するかもしれない。
自分の狭い領域に閉じこもって、彼は新しい事実を発見することに成功し、自分がほとんど知らない科学を進歩させ、自分が良心的に無知である知識の百科事典を強める……」。
物理学のノーベル賞受賞者リチャード・ファインマンは、ある会議で出会った様々なタイプの疑似科学者について、次のような見解を書いています。 科学者の仕事のほとんどは、これらのカテゴリのいずれかに分類された。
- 全く理解できない
- 曖昧ではっきりしない
- 自明で自明の正しいもの。 このような場合、”li “は “li “であり、”li “は “li “であっても、”li “でない場合は、”li “であることを意味する。 演繹的推論の科学と呼ばれることもある。 科学が自然界を研究するための論理的な思考体系であるのに対し、数学は科学の正確な言語である。 科学的な分析のためのコミュニケーションの形式です。 数学が存在する前に、それに意味を与えるために状況がある必要があります。 数学の構造を決定するのは科学的分析である。
数学を通して、我々は現在を定義することができる。 現在とは、それが占める短い時間枠の中に存在する条件に依存しているに過ぎない。 それはすぐに私たちの目の前で消えてしまい、記憶となる。 科学の目的は、数学によって表現される定量化可能な既存の条件によって、客観的な世界を定義することである。 私たちの次元や特性は固定されたまま、変化することはない。
私たちの研究が少し複雑になり、微積分が生じるのは、私たちの次元が変化したときです。 しかし、まず、変化とは何を意味するのでしょうか。 変化を理解するためには、時間の概念を説明する必要があります。 定義によれば、時間とは事象の経過であり、時間が経過するためには、何かがそれ自身に対して変化しなければなりません。 例えば、物体が動くということは、基準点からの距離が変化することを意味する。 これは時間を定義する事象を構成する。 また、気温が上昇することは、気温が変化することを意味し、このように時間を占有する。 5655>
微積分は数学的に定義された変化の研究であるが、それは必ずしも時間だけの研究ではない。 科学では他の次元が互いに対して変化することがある。 例えば、速度は高さによって、温度はエネルギーによって、密度は深さによって、力は質量によって変化することができる。
ある次元がそれ自身に対して変化しているとき、我々はそれを時間に対して変化していると言う。 因子が互いに関して変化するとき、我々は時間が因子に及ぼす影響を無視し、相互作用する次元の分析だけに進む。 私たちは、因子が時間ではなく、互いに対して変化する定数であると仮定する。 微積分は、このように、変化を伴うすべての現象を研究するために使用される数学の一分野である。 変更は、次元の任意のペア、時間、力、質量、長さ、温度などを含むことができる相対的な概念である。 少し抽象的に聞こえるかもしれませんが、コースが進むにつれて、より明確になるでしょう。
以上で微積分が何であるかについての答えを終わります。 なぜ微積分を勉強するのか」という最初の質問には答えられなかったと思うかもしれません。 微積分を勉強する目的は、簡単に言えば、科学的な分析方法を頭に入れることです。 科学を通して、現実的な問題を特定し、説明を作成し、論理的な解決策を選択することができます。 その目的は、自分の周りの世界を理解するために、自分の頭を体系的に適用する方法を理解することです。
エンジニアリングは、単なる数字の計算や式の操作よりも、問題解決に対するこの基本的な論理アプローチに依存している。 このため、多くのエンジニアは微積分の定理をすべて忘れてしまっていますが、残っているのは方法と応用という重要な概念的枠組みです。 エンジニアはよく冗談で「数学のことはよくわからないけど、最終的な結果は知っているんだ！」と言います。 「
優れた工学的センスとは、問題を素早く特定し、実用的な解決策を考え出し、最も効率的な選択肢を選択する能力であると定義されています。 多くの実世界の問題は、どんな複雑な数学とも無関係ですが、それらを解決するためには、同じ系統的な科学的アプローチが必要です。 健全な論理の適用が、複雑なものを単純なものにするために必要なすべてなのです。 この科目のざっとした知識で何とかなった技術者や科学者は、似非科学者やチャラ男の域に達しています。 オルテガが書いたように、疑似科学者は「自分がほとんど知らない科学を進め、自分が良心的に無知である知識の百科事典を強制的に増やす……」のである。 科学者を駆り立てるのは、自然を理解することのスリルと悟りである。 エンジニアは、科学をさらに一歩進めて、人間のニーズに合わせて自然をコントロールする。 エンジニアも科学者も、自然の営みに対する深い感謝の念を共有しており、その感謝の念は知恵へと発展していく。 第一は、制御された環境において、ほとんどあらゆる種類の変化する現象を研究するために用いられる数学の基本概念を紹介することである。 第二に、微積分を学ぶことによって、かけがえのない科学的センスと実用的な工学的問題解決能力を身につけることができます。 最も複雑なシステムをいくつかの相互作用する要素に還元するための論理的な思考方法を理解することができます。 本書の主な概念、理論、例を学ぶうちに、あなたの心は強力な体系的道具に成長するでしょう。
最後にユーモアを交えて、「Our DumbCentury」という本の1925年の章にあるThe Onionの次の風刺エッセーを読んでみてください。
子供たちに事実を教えるべきだろうか？ いや、何度でもいやだと言いたい。 彼らが成長して、明日の農民、主婦、工場労働者、炭鉱労働者になったとき、事実が一番必要ないものなのです。 マナーだ！ 服従 とりわけ服従 話しかけられたときだけ話し、問題を起こさないこと。 これらは、私たちの教育制度が基礎とした原則です。 なぜ、神の名において、無知な人間に質問をすることを実際に奨励するような制度と置き換える必要があるのでしょうか？ 善良な市民は、そのようなことはしない。 彼は、上司から与えられた理由に満足するのです。
質問
- 神は人間を創ったのか、人間が神を創ったのか？ 人間や自然はあまりにもよくできていて、ランダムに起こるものではないと言う人がいる。 この宇宙の多くの物理法則は、交通法規が人間によって作られたように、創造主によって作られたに違いない。 進化はランダムに見えるかもしれないが、実は時間の経過とともに無限に変化することの積み重ねである。 私たちが見ているものは現在の姿であって、永遠に続く無限の層があるわけではありません。 そのため、現状はあまりにも完璧すぎて、理解できないと結論づけられがちです。 しかし、進化の各層がどのように起こっているかを調べると、時間をかけて蓄積された最も単純な変化から、いかに複雑さが達成されるかを理解するのは非常に簡単なことなのです。 この質問について、あなたの宗教と科学に対する考えと合わせて、コメントしてください。
- 人生のパラドックスとは、それを楽しむために苦しまなければならないということである。 あるいは、近代オリンピック運動の父による「オリンピックで最も重要なことは、勝つことではなく、参加することである。 本質的なことは、征服したことではなく、よく闘ったことなのです。 「あなたはどう思いますか？ 人生とは、達成することなのか、達成するまでの道程なのか？
- 世界には何千もの文化があります。 それぞれの文化には、社会が生きようとする一連の道徳や基準がある。 ある文化では良いとされることでも、別の文化ではタブーとされることもある。 ほとんどの人は基本的に良いですが、社会的に受け入れられる行動の間にほとんどconsistencyがあります。 モラルは絶対的なものですか、それともお互いに相対的にしか存在しないのでしょうか？ 言い換えれば、ある種の行動は、個人の生い立ちに関係なく、純粋に善か悪かで判断できると思いますか？
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