Il y a beaucoup de preuves. Ma préférée va comme ceci . Apparemment, elle est due à un très jeune Albert Einstein, mais cela semble difficile à vérifier.

Les triangles droits ont une propriété soignée où, étant donné un triangle droit, vous pouvez tracer une ligne perpendiculaire à l’hypoténuse qui passe par l’angle droit, et cette ligne divise le triangle en deux plus petites copies de lui-même. Cette ligne s’appelle l’altitude. Voici une image illustrant comment cela fonctionne. Vous devriez pouvoir vous convaincre que les petits triangles formés par l’altitude sont bien des copies du grand triangle – cela a à voir avec le fait que les angles d’un triangle s’additionnent à 180 degrés.

Alors, de toute façon, c’est parti. Tout d’abord, pensons au théorème, non pas comme une formule, mais comme une déclaration sur la géométrie. Le théorème dit que pour un triangle rectangle avec des côtés a, b et c (où l’hypoténuse est c), l’aire du carré dont le côté est c est égale à la somme des aires des carrés dont les côtés sont a et b. Voici une illustration. La somme des aires des carrés bleu et orange est égale à l’aire du carré violet.

Pour le prouver, considérez un triangle rectangle arbitraire avec des côtés a, b, c, et en utilisant l’altitude, divisez-le en petites copies de lui-même comme nous en avons parlé plus haut. Vous voudrez peut-être prendre un stylo et dessiner des diagrammes pour nous suivre. Nous allons réfléchir aux aires des petites copies, ainsi qu’au grand triangle, alors donnons-leur des noms. Soit A l’aire du petit triangle avec l’hypoténuse a, B l’aire du petit triangle avec l’hypoténuse b, et C l’aire du grand triangle (avec l’hypoténuse c, bien sûr). Encore une fois, faites un dessin si vous ne voyez pas cela dans votre esprit.

Maintenant, clairement : A + B = C. Retenez-le et mettez-le de côté.

Notez que les carrés ont tous des côtés égaux à l’hypoténuse de leurs triangles correspondants. Pensons pour l’instant à la petite forme de maison formée le long du côté a – c’est-à-dire le triangle d’aire A et le carré d’aire a2. Soit r le rapport entre l’aire du triangle dans la forme de maison et l’aire du carré, de sorte que

A = ra2

Selon la façon dont vous avez dessiné le triangle en premier lieu, r peut être grand ou petit. Ce qui est amusant dans cette preuve, c’est que r finit par nous aider même si sa valeur n’a pas d’importance.

Replaçons notre attention sur la forme de maison formée le long du côté b. Maintenant, puisque le triangle d’aire B est une copie exacte du triangle d’aire A, mais juste de taille différente (à moins que vous n’ayez dessiné un triangle isocèle, auquel cas il est aussi de même taille), le rapport entre les aires de ce triangle et de son carré correspondant est le même. C’est-à-dire que, puisque cette forme de maison est juste une copie à l’échelle de la première forme de maison, la même relation tient :

B = rb2

Enfin, vous pouvez voir que la même relation tiendra pour la plus grande forme de maison, faite à partir du triangle original, puisqu’elle est juste une copie à l’échelle des plus petites aussi.

C = rc2

En combinant ces dernières identités avec la première équation, on peut écrire

ra2 + rb2 = rc2

Diviser par r donne le résultat souhaité 🙂

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