Probabilité de Yahtzee
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Le Père Noël a apporté à mes enfants le jeu de Yahtzee pour Noël. Nous y avons beaucoup joué le soir. Quand un Yahtzee est lancé, mes enfants deviennent fous. Dans cet article de blog, je vais examiner la probabilité de lancer un Yahtzee. |
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Le Yahtzee est un jeu qui se joue avec cinq dés à six faces. Un joueur lance les dés, examine les résultats et peut garder autant de dés qu’il le souhaite, en relançant les autres. Après le deuxième lancer, le processus est répété (si le joueur le souhaite, il peut récupérer les dés qu’il a gardés lors du premier tour). Après (jusqu’à) trois lancers, les dés sont notés selon différentes catégories. Le Yahtzee (qui rapporte 50 points) est obtenu en obtenant les cinq dés de la même façon. |
Assomptions
Nous allons supposer que le joueur est un joueur intelligent, et qu’à chaque point de décision, il fait les choix de relance et de maintien les plus intelligents possibles.
La probabilité d’obtenir un Yahtzee en un seul lancer est facile à calculer. Il y a cinq dés, donc quel que soit le résultat du premier dé, il y a 1/6 de chance que le deuxième dé soit le même nombre. Si cela se produit, il y a 1/6 de chance que le troisième dé soit le même, idem pour le quatrième et le cinquième.
Donc la probabilité d’obtenir un Yahtzee en un seul lancer est de 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.
Avec trois lancers et un maintien, cependant, les choses se compliquent un peu. Le nombre de dés que nous lançons à chaque tour peut être modifié, et il y a de nombreuses combinaisons possibles à considérer. Parce que l’état des dés au début de chaque lancer est indépendant de la façon dont les dés ont été lancés, c’est une occasion parfaite de déployer l’un de mes outils préférés, la chaîne de Markov (pour plus de contexte à ce sujet, voir mes posts précédents sur CandyLand, et Chutes et échelles).
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Avant de se plonger dans la chaîne de Markov, cependant, il nous sera bénéfique d’examiner les différentes façons dont les combinaisons de dés peuvent être lancées. Cet exercice simplifiera grandement la création de la matrice de transition (faites-moi confiance sur ce point). Nous y voilà … |
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2 dés |
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C’est le cas trivial. Il n’y a que deux modèles pour la façon dont deux dés peuvent être lancés. Soit ils correspondent, soit ils ne correspondent pas. Il y a 1/6 de chance que le second des deux dés corresponde au premier, et inversement, il y a 5/6 de chance qu’il ne corresponde pas. Les probabilités, bien sûr, doivent totaliser 1 (l’un des deux événements doit se produire).
Une autre façon de voir les choses est qu’il existe 36 combinaisons possibles pour que deux dés soient lancés. Dans six de ces combinaisons {1,1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6} les chiffres sont les mêmes, et dans 30 de ces combinaisons, les dés sont différents.
Ces résultats sont représentés graphiquement sur l’image ci-dessus. Il y a 6/36 chances que les deux dés soient identiques, représentés par {A,A}, et 30/36 chances qu’ils soient différents, représentés par {A,B}
3 dés |
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Cela devient un peu plus complexe, mais pas beaucoup. Ici, il y a trois saveurs possibles de résultat pour les trois dés : Soit ils sont tous identiques, soit ils sont tous différents, soit il y aura deux d’un chiffre et un d’un autre. Il y a 216 façons possibles de lancer trois dés (6 x 6 x 6).
On peut calculer la probabilité qu’ils soient tous identiques, facilement, comme 1/6 x 1/6 = 1/36 (Le deuxième dé correspond au premier 1 fois sur 6, et le troisième dé correspond, à nouveau, 1 fois sur 6).
Alternativement, on peut imaginer que, sur les 216 façons possibles pour les dés d’atterrir, il y a six façons possibles lorsqu’ils sont tous identiques : {1,1,1}, {2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6}.
La probabilité qu’ils soient tous différents peut être calculée en utilisant la logique suivante : Le premier dé peut être ce qu’il veut, puis pour le deuxième dé, il y a 5/6 de chances qu’il ne soit pas le même nombre que le premier dé. Enfin, il y a 4/6 de chances que le troisième dé soit différent des deux premiers. Ainsi, la probabilité que tous les dés soient différents est de 5/6 x 4/6 = 20/36, ce qui peut être simplifié en 120/216. Il y a 120 combinaisons possibles des 216 résultats possibles où les trois dés sont différents {A,B,C}.
Parce que nous savons que le total de toutes les probabilités pour la façon dont trois dés roulent doit s’additionner à 1,0 nous pouvons déduire que la probabilité que deux des dés soient les mêmes {A,A,B} est 90/216 (Ce qui est 1 – 6/216 – 120/216).
(Si vous voulez vous en convaincre, pensez-y de la manière suivante : Il y a six valeurs possibles que A pourrait être, cinq valeurs possibles de ce que B pourrait être, et trois choix possibles de quel dé pourrait être B. Cela fait 6 x 5 x 3 = 90 combinaisons sur les 216).
4 dés |
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Les choses commencent à devenir un peu plus complexes maintenant. Ils peuvent être tous identiques, tous différents, trois d’une sorte, deux lots de deux paires, ou une paire avec deux singletons différents.
Il y a 1296 façons dont quatre dés peuvent être disposés (6 x 6 x 6 x 6). Les résultats sont présentés ci-dessous :
Nous devons faire très attention ici, car nous ne voulons pas compter deux fois. Lorsque nous comptons les deux lots de deux paires, nous devons nous assurer que nous ne comptons pas par inadvertance {5,5,5,5} comme deux ensembles de double cinq et que nous plaçons cela dans le seau {A,A,B,B}, car il s’agit en réalité d’un carré et il doit être dans le seau {A,A,A,A}. Si nous comptons deux fois, les probabilités deviendront supérieures à 1,0 !
Dériver le tableau ci-dessus peut être fait de différentes manières. Ceux d’entre vous qui ont étudié les mathématiques à l’université pourraient atteindre une expansion binomiale pour calculer les permutations. Alternativement, comme nous l’avons discuté dans la page d’analyse des risques, le nombre de combinaisons est si petit (seulement 1296) que vous pourriez vouloir simplement forcer brutalement toutes les combinaisons dans le code et les compter.
C’est en fait un bon exercice mental de travailler à la dérivation de ces chiffres pour vous convaincre que les chiffres sont corrects. Par exemple {A,A,A,A,A} est 1/6 x 1/6 x 1/6 pour les chances que le deuxième, le troisième et le quatrième dé correspondent au premier. (La pensée alternative, est qu’il n’y a que six façons d’obtenir quatre d’une sorte = 6/1296).
Pour trois d’une sorte {A,A,A,B} il y a six numéros possibles que A pourrait être, et cinq numéros possibles que B pourrait être, et quatre emplacements pour le dé B, ce qui est 6 x 5 x 4 combinaisons = 120/1296.
Pour que tous les dés soient différents {A,B,C,D} il y a 5/6 de chances que le deuxième dé soit différent du premier, et 4/6 que le troisième soit unique, et 3/6 de chances que le quatrième le soit. 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.
Note intéressante – En aparté ici, lorsque vous lancez quatre dés, le résultat le plus probable est que vous obteniez une paire, et il y a plus de 72.2 % de chances que vous obteniez au moins une paire (720+90+120+6)/1296
5 dés |
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Maintenant les choses deviennent un peu occupées ! Il y a 7776 combinaisons possibles pour cinq dés. Les résultats sont présentés ci-dessous. Dans l’intérêt de la brièveté, je ne vais pas toutes les dériver ici (peut-être dans un futur billet de blog), et je vais simplement montrer les résultats afin que nous puissions revenir à la chaîne de Markov.
Note intéressante – La probabilité de lancer un FullHouse en un seul jet est de 300/7776 cf. Four of a kind à seulement 150/7776. Selon nos règles, un full marque 25 points et (au maximum), le quatre d’une sorte peut marquer 30 points (tous les six – bonus Yahtzee exclus), donc le full est un ramassage de points facile, étant deux fois plus facile que d’obtenir un quatre d’une sorte!
Note intéressante – Avec cinq dés, il y a 7056/7776 chances que vous obteniez une paire ou mieux sur votre premier jet (90.7%)
Retour à Markov
Pour effectuer notre analyse de Markov, nous devons créer une matrice de transition qui définit la probabilité de passer d’un état à l’autre.
Comme états, je vais sélectionner le nombre de dés correspondants dans le jeu, nous avons donc 5 états : 1,2,3,4,5 (Ici, le dé correspondant « 1 » pourrait aussi être décrit comme un singleton). Il en résulte une matrice de 25 éléments.
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Notre matrice sera de nature triangulaire supérieure (nous avons fait l’hypothèse d’un joueur intelligent donc, s’il y a un jet de trois d’une sorte, nous n’allons pas suggérer que le joueur relance une partie de celle-ci afin d’arriver à un Yahtzee !). La matrice de transition montrera les probabilités de passer de n’importe quel état soit au même état, soit à un état supérieur. Voici la matrice de transition. Nous devons remplir chaque emplacement contenant un ‘?’ avec la probabilité de passer d’entre l’état représenté par le numéro de la colonne à l’état représenté par le numéro de la ligne. (Tous les autres emplacements ont une probabilité nulle). Nous y voilà … |
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Les premières entrées sont faciles à remplir. La probabilité de passer de l’état 5 à l’état 5 est de 1,0 Une fois que nous avons réussi un Yahtzee, nous allons le garder et ne plus lancer de dés, il y a donc 100% de certitude de rester dans cet état ! Si nous avons actuellement 4 dés assortis, il y a 1/6 de chance que nous lancions le bon nombre pour faire 5, et corrélativement 5/6 de rester dans l’état 4. La nature stochastique de la matrice de transition est maintenue parce que la ligne de cette matrice se résume à 1,0 (Quelque chose doit se produire, et ce sera un de ces changements d’état). |
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Pour l’état 3, il y a deux dés à relancer, ce qui donne 36 combinaisons possibles. (Rappelons la section de combinatronique ci-dessus). Il y a une chance 1/36 que les deux dés correspondent au brelan actuel pour faire un Yahtzee et cette probabilité est placée dans la ligne 3 et la colonne 5. Il y a 25/36 chances que le joueur ait encore un brelan à la fin du prochain lancer (5/6 de chances de manquer avec le premier dé multiplié par 5/6 de chances de manquer avec le second). Enfin, il y a 10/36 chances d’obtenir un chiffre supplémentaire pour faire un quadruple. C’est 1/6 x 5/6, et cela peut être réalisé de deux façons différentes (soit le premier dé correspond, soit le second). |
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Les choses deviennent un peu plus délicates maintenant, alors nous allons ralentir. Passer de l’état 2 à l’état 5 nécessite que les trois dés relancés correspondent à la paire actuelle. Cela se produit avec une probabilité de 1/216 (Ce qui est 1/6 x 1/6 x 1/6). De même, passer de rien de correspondant, (état 1), à l’état 5, équivaut à lancer un Yahtzee en une seule fois (car tous les dés sont relancés). C’est 1/1296, calculé comme (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6). |
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Nous pouvons remplir deux autres coefficients. Si vous n’avez pas de chance, et que vous n’avez rien d’assorti (état 1), et que vous relancez tous les dés, la probabilité d’obtenir à nouveau rien d’assorti est de 120/1296 (C’est 5/6 de chance que le deuxième dé ne soit pas assorti, puis 4/6 pour le troisième et 3/6 du quatrième, et 2/6 pour le cinquième). Les chances d’obtenir un carré en un seul lancer sont de 25/1296 (Ce qui fait 150/7776. Vous vous souvenez de la section Combinatronics ? Cela se calcule en obtenant quatre dés identiques : 1/6 x 1/6 x 1/6, le dernier dé ne correspondant pas à 5/6, et il y a cinq façons possibles de former cela avec les cinq emplacements possibles pour B dans l’ensemble {A,A,A,A,A,B}. Si ce n’est pas clairement évident, les probabilités de la rangée supérieure (passant de rien d’assorti à tout autre état), sont les probabilités du résultat du premier lancer. |
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La probabilité d’obtenir un brelan en un seul lancer est de 250/1296. C’est un peu plus difficile à calculer, et il faut être prudent. Cela se produit dans l’un des deux schémas {A,A,A,B,B} et {A,A,A,B,C}. Si l’on se réfère à la section combinatronique ci-dessus (vous vous souvenez, j’ai dit que ce serait utile ?), on peut voir que {A,A,A,B,B} se produit 300/7776 fois (le full) et {A,A,A,B,C} (le brelan) 1200 fois. (brelan) se produit 1200/7776 fois. En les additionnant (la façon probabiliste de dire OU), on obtient 1500/7776, ce qui se réduit à 250/1296. Pour remplir le dernier élément de cette rangée (obtenir une paire), il faut à nouveau être prudent. Il y a deux ensembles à considérer : {A,A,B,C,D} et {A,A,B,B,C}. (Single Pair et Two Pair). Comme nous voulons faire un Yahtzee, nous lançons l’une des paires avec le singleton. La probabilité d’obtenir une paire est de 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 ou 900/1296). C’est aussi un soulagement de savoir que toutes les probabilités de cette rangée font 1,0 (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 +1/1296). |
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Transitionner d’une paire (état 2) à un carré (état 4) a une probabilité de 15/216. Il y a 1/6 de chance qu’un des matrices corresponde, puis 1/6 de chance qu’une autre corresponde, multiplié par 5/6 de chance que la dernière matrice ne corresponde pas. Il y a trois façons possibles pour lequel des 5/6 dés est, donc la probabilité finale = 3 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216. |
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Maintenant les deux derniers délicats. En lisant un peu sur internet, c’est là que les gens semblent se tromper dans leurs calculs. La complication vient du fait que, lorsqu’on relance trois dés, on peut vouloir « sauter le pas » sur ce que l’on vise. Par exemple, si vous avez obtenu une paire lors de votre premier lancer, que vous avez gardé la paire et relancé trois dés, et que ces trois dés ont tous donné le même résultat (mais pas le même que la paire, sinon ce serait du Yahtzee !), alors au prochain lancer vous voudrez garder le brelan et relancer la paire. Cette subtilité modifie les probabilités. Travaillons là-dessus – Nous avons gardé une paire et relancé trois dés. Rappelez-vous de notre combinatronique à trois dés que trois dés se retournent tous de la même façon avec une probabilité de 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216, mais dans un de ces cas, ce nombre lancé sera le même que la paire (provoquant un Yahtzee), donc nous devons soustraire ce cas. Ainsi, la chance de passer d’une paire à un brelan est de 6/216 – 1/216 = 5/216. |
Pour compléter le coefficient de transition d’une paire (état 2) à rester en paire (état 2), nous avons besoin de la probabilité de base de ceci, qui est simplement 5/6 x 5/6 x 5/6 (les trois dés manquent de correspondre à la paire), et de cela, nous devons soustraire la probabilité que ces trois dés soient identiques et ne forment pas un Yahtzee (5/216), donc le résultat final pour cet élément = 125/216 – 5/216 = 120/216.
De même, l’inverse de ce tour de passe-passe pour la probabilité de transition de l’état 2 d’une paire à l’état 3 de trois semblables. Ici, la probabilité de base de passer de l’état 2 à l’état 3 est de 75/216 (on lance trois dés, avec 1/6 de chance de correspondance, puis deux 5/6 de chance de ratage, et il y a trois combinaisons de façons d’y parvenir qui sont 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6). À cette probabilité de base de 75/216, nous devons ajouter les 5/216 chances de plus que nous avons obtenues à trois d’une sorte par cette voie alternative.
Ainsi, le dernier élément requis pour compléter notre matrice de transition de l’état 2 à l’état 3 est 75/216 + 5/216 = 80/216.
C’est aussi un soulagement de calculer que les probabilités de cette ligne totalisent 1,0 ! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). Cela permet de confirmer que nos calculs sont corrects.
Notre matrice de transition est maintenant complète !
Multiplication matricielle
Nous entrons maintenant un vecteur colonne identitaire et le multiplions par la matrice de transition. La sortie du vecteur ligne qui en résulte montre les probabilités de la distrubution des états dans lesquels le dé pourrait se trouver. Nous pouvons maintenant prendre cette sortie et l’utiliser à nouveau comme entrée et cette fois, la sortie est la superposition des probabilités pour le dé à la fin du deuxième lancer. Pour obtenir la probabilité d’obtenir un Yahtzee sur (ou avant) trois lancers, nous multiple une dernière fois et lisons le résultat de l’élément firth (état 5) dans le vecteur de sortie final.
(A partir de ce point, je passe aux décimales/pourcentages pour représenter les probabilités car les fractions impliquées sont trop disgracieuses à saisir et à lire).
Résultats
La probabilité d’obtenir un Yahtzee est de 4,6029%
Pretty Graphs
Si vous avez raté votre lancer de Yahtzee, que se passe-t-il si vous relancez ? (comme mes enfants essaient parfois de le faire !) Et encore ? Et encore ? …
Vous trouverez ci-dessous un graphique montrant le pourcentage de chance d’obtenir un Yahtzee en n-roulements. L’axe des abscisses est le nombre de lancers, et l’axe des ordonnées montre le pourcentage de chance.
La courbe s’asymptote à 100%, et passe au-dessus de 50% au lancer #10. Pour être sûr à 95% de lancer un Yahtzee, il faut 23 lancers.
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Il arrive souvent que l’on rate une tentative de Yahtzee. Quelle est la répartition des probabilités ? Quelle est la probabilité que vous vous retrouviez avec un carré lors de votre tentative de Yahtzee ? Cette information est facile à obtenir en lisant la valeur du vecteur de sortie de la chaîne de Markov pour l’état 4. (La probabilité que vous vous retrouviez avec un carré en trois lancers est de 24,476 %, et celle d’un carré de 45,240 %). Le tableau de gauche montre la répartition en pourcentage pour les 25 premiers rouleaux. Vous trouverez ci-dessous les mêmes données présentées sous forme de graphique. Remarquez qu’après 9 lancers, le Yahtzee devient l’événement le plus probable, et la chance de se retrouver avec une paire ou un Singleton tombe rapidement dans le bruit.
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