Solution pas à pas :

Calculateur de racines polynomiales :

1.1 Trouver les racines (zéros) de : F(x) = x5-x-1
Le calculateur de racines polynomiales est un ensemble de méthodes visant à trouver les valeurs de x pour lesquelles F(x)=0
Le test de racines rationnelles est l’un des outils mentionnés ci-dessus. Il ne trouverait que les racines rationnelles c’est-à-dire les nombres x qui peuvent être exprimés comme le quotient de deux nombres entiers
Le théorème de la racine rationnelle stipule que si un polynôme se met à zéro pour un nombre rationnel P/Q alors P est un facteur de la constante traînante et Q est un facteur du coefficient directeur
Dans ce cas, le coefficient directeur est 1 et la constante traînante est -1.
Le ou les facteurs sont :
du coefficient directeur : 1
de la constante de fuite : 1
Testons …..

Le calculateur de racines polynomiales n’a trouvé aucune racine rationnelle

Equation à la fin de l’étape 1 :

 x5 - x - 1 = 0 

Etape 2 :

Equations d’ordre 5 ou plus :

2.1 Résoudre x5-x-1 = 0
Points concernant les équations de degré cinq ou plus.
(1) Il n’y a pas de méthode générale (Formule) pour résoudre les équations polynomiales de degré cinq ou plus.
(2) Par le théorème fondamental de l’algèbre, si on autorise les nombres complexes, une équation de degré n aura exactement n solutions
(C’est si on compte les solutions doubles comme 2 , les solutions triples comme 3 et ainsi de suite
). (3) Par le théorème d’Abel-Ruffini, les solutions ne peuvent pas toujours être présentées de manière conventionnelle en utilisant seulement une quantité finie d’additions, de soustractions, de multiplications, de divisions ou d’extractions de racines

(4) Si F(x) est un polynôme de degré impair avec des coefficients réels, alors l’équation F(X)=0 a au moins une solution réelle.
(5) En utilisant des méthodes telles que la méthode de bissection, les solutions réelles peuvent être approchées à n’importe quel degré de précision désiré.

Approximation d’une racine à l’aide de la méthode de bissection :

Nous utilisons maintenant la méthode de bissection pour approcher une des solutions. La méthode de bissection est une procédure itérative pour approcher une racine (La racine est un autre nom pour la solution d’une équation).
La fonction est F(x) = x5 – x – 1
À x= 1,00 F(x) est égale à -1,00
À x= 2,00 F(x) est égale à 29.00
Intuitivement, nous pensons, et à juste titre, que puisque F(x) est négative d’un côté de l’intervalle, et positive de l’autre côté alors, quelque part à l’intérieur de cet intervalle, F(x) est nulle
Procédure :
(1) Trouver un point « Gauche » où F(Gauche) < 0
(2) Trouver un point « Droit » où F(Droit) > 0
(3) Calculer « Milieu » le point central de l’intervalle
(4) Calculer Valeur = F(Milieu)
(5) Si Valeur est assez proche de zéro passer à l’étape (7)
Else :
Si Valeur < 0 alors : Gauche <- Milieu
Si Valeur > 0 alors : Droite <- Milieu
(6) Retour en boucle à l’étape (3)
(7) Terminé !! L’approximation trouvée est Middle
Suivez les mouvements de Middle pour comprendre comment cela fonctionne :

 Left Value(Left) Right Value(Right) 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 0.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 1.500000000 5.093750000 1.000000000 -1.000000000 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.167968750 0.005513586 1.166015625 -0.010645540 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167327881 0.000198003 1.167297363 -0.000054794 1.167312622 0.000071601 1.167297363 -0.000054794 1.167304993 0.000008403 1.167301178 -0.000023196 1.167304993 0.000008403

Le prochain Milieu nous permettra de nous rapprocher suffisamment de zéro :
F( 1,167304039 ) vaut 0,000000503
L’approximation souhaitée de la solution est :
x ≓ 1,167304039
Note, ≓ est le symbole d’approximation

Une solution a été trouvée :