Yahtzee Probabilidad
|
Santa trajo a mis hijos el juego de Yahtzee por Navidad. Hemos estado jugando mucho por las tardes. Cuando sale un Yahtzee, mis hijos se vuelven locos. En esta entrada del blog voy a analizar la probabilidad de sacar un Yahtzee. |
 |
El Yahtzee es un juego que se juega con cinco dados de seis caras. Un jugador tira los dados, examina los resultados y puede quedarse con tantos dados como quiera, volviendo a tirar el resto. Después de la segunda tirada, se repite el proceso (si se desea, el jugador puede recoger los dados retenidos en la primera ronda). Después de (hasta) tres tiradas, los dados se puntúan según varias categorías. El Yahtzee (con una puntuación de 50 puntos) se consigue si se obtienen los cinco dados iguales. |
Supuestos
Vamos a suponer que el jugador es un jugador inteligente, y que en cada punto de decisión hace las elecciones de relanzamiento y retención más inteligentes posibles.
La probabilidad de obtener un Yahtzee en una sola tirada es fácil de calcular. Hay cinco dados, así que sea lo que sea lo que saque el primer dado hay una probabilidad de 1/6 de que el segundo dado sea el mismo número. Si eso ocurre, hay una probabilidad de 1/6 de que el tercer dado sea el mismo, y lo mismo ocurre con el cuarto y el quinto.
Así que la probabilidad de obtener un Yahtzee en una sola tirada es de 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296.
Sin embargo, con tres tiradas y manteniendo, las cosas se complican un poco más. El número de dados que tiramos en cada turno puede cambiarse, y hay muchas combinaciones posibles a considerar. Dado que el estado de los dados al comienzo de cada tirada es independiente de cómo se hayan tirado los dados, esta es una oportunidad perfecta para sacar a relucir una de mis herramientas favoritas, la Cadena de Markov (para más antecedentes sobre esto, ver mis anteriores publicaciones sobre CandyLand, y Chutes and Ladders).
|
Antes de profundizar en la Cadena de Markov, sin embargo, nos beneficiará examinar las diversas formas en que se pueden tirar combinaciones de dados. Este ejercicio simplificará enormemente la creación de la Matriz de Transición (confía en mí en esto). Aquí vamos … |
 |
2 dados |
|
Este es el caso trivial. Sólo hay dos patrones para la forma en que dos dados pueden ser lanzados. O coinciden, o no coinciden. Hay una probabilidad de 1/6 de que el segundo de los dos dados coincida con el primero, y a la inversa, hay una probabilidad de 5/6 de que no coincida. Las probabilidades, por supuesto, tienen que sumar 1 (uno de los dos eventos debe ocurrir).
Otra forma de ver esto es que hay 36 combinaciones posibles para que dos dados sean lanzados. En seis de estas combinaciones {1,1}, {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5}, {6,6} los números son iguales, y en 30 de estas combinaciones, los dados son diferentes.
Estos resultados se muestran gráficamente en la imagen superior. Hay una probabilidad de 6/36 de que ambos dados sean iguales, representada como {A,A}, y una probabilidad de 30/36 de que sean diferentes, representada como {A,B}
3 dados |
|
Esto se vuelve un poco más complejo, pero no mucho. Aquí hay tres posibles sabores de resultado para los tres dados: O son todos iguales, o son todos diferentes, o habrá dos de un número y uno de otro. Hay 216 formas posibles de que salgan tres dados (6 x 6 x 6).
Podemos calcular la probabilidad de que todos sean iguales, fácilmente, como 1/6 x 1/6 = 1/36 (El segundo dado coincide con el primero 1 vez de cada 6, y el tercer dado coincide, de nuevo, 1 vez de cada 6).
Alternativamente, podemos imaginar que, de las 216 formas posibles en que pueden caer los dados, hay seis formas posibles cuando todos son iguales: {1,1,1}, {2,2,2}, {3,3,3}, {4,4,4}, {5,5,5}, {6,6,6}.
La probabilidad de que todos sean diferentes se puede calcular utilizando la siguiente lógica: El primer dado puede ser lo que quiera, luego para el segundo dado hay una probabilidad de 5/6 de que no sea el mismo número que el primer dado. Por último, hay una probabilidad de 4/6 de que el tercer dado sea diferente a los dos primeros. Por lo tanto, la probabilidad de que todos los dados sean diferentes es de 5/6 x 4/6 = 20/36 que se puede simplificar a 120/216. Hay 120 combinaciones posibles de los 216 resultados posibles en los que los tres dados son diferentes {A,B,C}.
Debido a que sabemos que el total de todas las probabilidades para la forma en que ruedan los tres dados debe sumar 1,0 podemos deducir que la probabilidad de que dos de los dados sean iguales {A,A,B} es 90/216 (Que es 1 – 6/216 – 120/216).
(Si quieres convencerte de esto, piénsalo así: Hay seis valores posibles de lo que puede ser A, cinco valores posibles de lo que puede ser B, y tres opciones posibles de qué dado puede ser B. Esto es 6 x 5 x 3 = 90 combinaciones de las 216).
4 dados |
|
Las cosas empiezan a ser un poco más complejas ahora. Pueden ser todos iguales, todos diferentes, tres del mismo tipo, dos lotes de dos pares, o un par con dos singletons diferentes.
Hay 1296 formas en que se pueden disponer cuatro dados (6 x 6 x 6 x 6). Los resultados se muestran a continuación:
Aquí hay que tener mucho cuidado, porque no queremos contar dos veces. Al contar los dos lotes de dos pares, tenemos que asegurarnos de que no contamos inadvertidamente {5,5,5,5} como dos conjuntos de cinco dobles y colocamos esto en el cubo {A,A,B,B}, porque en realidad son cuatro iguales y tienen que estar en el cubo {A,A,A,A}. Si contamos dos veces, las probabilidades serán mayores que 1,0!
La obtención de la tabla anterior se puede hacer de varias maneras. Los que estudiaron matemáticas en la universidad podrían recurrir a una expansión binomial para calcular las permutaciones. Alternativamente, como discutimos en la página de análisis de riesgo, el número de combinaciones es tan pequeño (sólo 1296) que podría querer simplemente forzar todas las combinaciones en código y contarlas.
En realidad es un buen ejercicio mental para trabajar a través de la derivación de estos números para convencerse de que los números son correctos. Por ejemplo {A,A,A,A} es 1/6 x 1/6 x 1/6 para las posibilidades de que el segundo, tercer y cuarto dado coincidan con el primero. (El pensamiento alternativo, es que sólo hay seis maneras de conseguir cuatro del mismo tipo = 6/1296).
Para tres del mismo tipo {A,A,A,B} hay seis números posibles que A podría ser, y cinco números posibles que B podría ser, y cuatro ubicaciones para los dados B, que es 6 x 5 x 4 combinaciones = 120/1296.
Para que todos los dados sean diferentes {A,B,C,D} hay una probabilidad de 5/6 de que el segundo dado sea diferente del primero, y una probabilidad de 4/6 de que el tercero sea único, y una probabilidad de 3/6 de que el cuarto lo sea. 5/6 x 4/6 x 3/6 = 60/216 = 360/1296.
Nota interesante – Como nota aparte, al lanzar cuatro dados, el resultado más probable es que se obtenga una pareja, y hay un2% de posibilidades de obtener al menos un par (720+90+120+6)/1296
5 dados |
|
¡Ahora la cosa se complica! Hay 7776 combinaciones posibles para cinco dados. Los resultados se muestran a continuación. En aras de la brevedad, no voy a derivarlos todos aquí (tal vez en una futura entrada del blog), y simplemente mostraré los resultados para que podamos volver a la Cadena de Markov.
Nota interesante – La probabilidad de sacar un FullHouse en una tirada es de 300/7776 cf. Cuatro del mismo tipo en sólo 150/7776. De acuerdo con nuestras reglas, un full puntúa 25 puntos y (como máximo), el cuatro del mismo tipo puede puntuar 30 puntos (todos los seises – bono Yahtzee excluido), por lo que el full es un punto fácil de recoger, siendo dos veces más fácil de conseguir que el cuatro del mismo tipo!
Nota interesante – Con cinco dados, hay 7056/7776 posibilidades de que usted obtenga un par o mejor en su primera tirada (90.7%)
Volver a Markov
Para realizar nuestro análisis de Markov, necesitamos crear una Matriz de Transición que defina la probabilidad de moverse entre cada estado.
Como los estados, voy a seleccionar el número de dados iguales en el juego, por lo que tenemos 5 estados: 1,2,3,4,5 (Aquí, «1» dados coincidentes también podría ser descrito como un singleton). ¡Esto resulta en una matriz de 25 elementos.
 |
Nuestra matriz será de naturaleza triangular superior (hicimos la suposición de un jugador inteligente por lo tanto, si hay una tirada de tres de un tipo, no vamos a sugerir que el jugador vuelva a rodar parte de esto con el fin de llegar a un Yahtzee!) La Matriz de Transición mostrará las probabilidades de pasar de cualquier estado al mismo estado, o a uno superior. Aquí está la Matriz de Transición. Tenemos que rellenar cada ubicación que contenga un ‘?’ con la probabilidad de pasar del estado representado por el número de columna al estado representado por el número de fila. (Todas las demás ubicaciones tienen probabilidad cero). Aquí vamos … |
 |
Las primeras entradas son fáciles de rellenar. La probabilidad de pasar del estado 5 al estado 5 es de 1,0 Una vez que consigamos un Yahtzee, nos lo quedaremos y no tiraremos más dados, por lo que hay un 100% de certeza de que nos mantendremos en este estado¡ Si actualmente tenemos 4 dados iguales, hay una probabilidad de 1/6 de que saquemos el número correcto para que sea 5, y correspondientemente un 5/6 de quedarnos en el estado 4. La naturaleza estocástica de la matriz de transición se mantiene porque la fila de esta matriz suma 1.0 (Algo tiene que pasar, y será uno de estos cambios de estado). |
 |
Para el estado 3, hay dos dados para volver a tirar, dando 36 combinaciones posibles. (Recordemos la sección de combinatoria anterior). Hay una probabilidad de 1/36 de que ambos dados coincidan con el actual tres de una clase para hacer un Yahtzee y esta probabilidad se coloca en la fila 3 y la columna 5. Hay una probabilidad de 25/36 de que el jugador siga teniendo tres iguales al final de la siguiente tirada (5/6 de probabilidad de fallar con el primer dado multiplicado por 5/6 de probabilidad de fallar con el segundo). Por último, hay una probabilidad de 10/36 de obtener un número adicional para hacer cuatro iguales. Esto es 1/6 x 5/6, y esto se puede conseguir de dos maneras diferentes (o el primer dado coincide, o el segundo lo hace). |
 |
Las cosas se están poniendo un poco más complicadas ahora, así que iremos más despacio. Pasar del estado 2 al estado 5 requiere que los tres dados que se vuelvan a lanzar coincidan con la pareja actual. Esto ocurre con una probabilidad de 1/216 (que es 1/6 x 1/6 x 1/6). De la misma manera, pasar de nada que coincida, (estado 1), al estado 5, es el equivalente a tirar un Yahtzee de una sola vez (porque todos los dados se vuelven a tirar). Esto es 1/1296, calculado como (1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6). |
 |
Podemos completar dos coeficientes más. Si tienes mala suerte, y no tienes nada que coincida (estado 1), y vuelves a tirar todos los dados, la probabilidad de no obtener nada que coincida de nuevo es de 120/1296 (Esto es 5/6 de probabilidad de que el segundo dado no coincida, seguido de 4/6 para el tercero y 3/6 del cuarto, y 2/6 para el quinto). Las probabilidades de sacar cuatro iguales en una sola tirada son de 25/1296 (Que es 150/7776. ¿Recuerdas la sección de Combinatronics? Se calcula sacando cuatro dados iguales: 1/6 x 1/6 x 1/6, sin que el último dado coincida con 5/6, y hay cinco formas posibles de que esto se forme con las cinco posibles ubicaciones de B en el conjunto {A,A,A,A,B}. Si no es claramente obvio, las probabilidades de la fila superior (que cambian de nada coincidente a cualquier otro estado), son las probabilidades para el resultado de la primera tirada. |
 |
La probabilidad de obtener tres iguales en una tirada es 250/1296. Esto es un poco más difícil de calcular, y tenemos que tener cuidado. Esto ocurre en uno de los dos patrones {A,A,A,B,B} y {A,A,A,B,C}. Haciendo referencia a la sección de combinatoria anterior (¿recuerdas que dije que sería útil?), podemos ver que {A,A,A,B,B} ocurre 300/7776 veces (el pleno) y {A,A,B,C} (tres iguales) se produce 1200/7776 veces. Sumando estos (la forma probabilística de decir O) obtenemos 1500/7776, lo que se reduce a 250/1296. Para completar el último elemento de esta fila (obtener una pareja), de nuevo tenemos que tener cuidado. Hay dos conjuntos a considerar: {A,A,B,C,D} y {A,A,B,B,C}. (par simple y par doble). Como vamos a por un Yahtzee, tiramos uno de los pares junto con el singleton. La probabilidad de obtener una pareja es de 1800/7776 + 3600/7776 = 5400/7776 o 900/1296). También es un alivio saber que todas las probabilidades de esta fila suman 1,0 (120/1296 + 900/1296 + 250/1296 + 25/1296 +1/1296). |
 |
La transición de una pareja (estado 2) a cuatro iguales (estado 4) tiene una probabilidad de 15/216. Hay una probabilidad de 1/6 de que uno de los dados coincida, luego otra probabilidad de 1/6 de que otro lo haga, multiplicada por la probabilidad de 5/6 de que el último dado no coincida. Hay tres formas posibles para que uno de los 5/6 dados lo sea, por lo que la probabilidad final = 3 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 15/216. |
 |
Ahora los dos últimos complicados. Leyendo un poco en internet, aquí es donde la gente parece resbalar en sus cálculos. La complicación surge porque, al volver a tirar tres dados, es posible que quieras «saltarte el barco» sobre lo que estás apuntando. Por ejemplo, si sacas un par en tu primera tirada, te quedas con el par y vuelves a tirar tres dados, y estos tres dados salen todos iguales (pero no igual que el par, porque si no sería Yahtzee), entonces en la siguiente tirada querrás quedarte con el tres iguales y volver a tirar el par. Esta sutileza modifica las probabilidades. Vamos a trabajar a través de esto – Hemos mantenido un par y volver a rodar tres dados. Recordemos de nuestra combinatoria de tres dados que tres dados salen todos iguales con probabilidad 1/6 x 1/6 = 1/36 = 6/216, pero en uno de estos casos, este número lanzado será el mismo que el de la pareja (provocando un Yahtzee), por lo que tenemos que restar este caso. Por lo tanto, la probabilidad de convertir un dos en un tres es de 6/216 – 1/216 = 5/216. |
Para completar el coeficiente de transición de un par (estado 2) a permanecer como un par (estado 2), necesitamos la probabilidad básica de esto, que es simplemente 5/6 x 5/6 x 5/6 (los tres dados no coinciden con el par), y de esto, necesitamos restar la probabilidad de que estos tres dados sean iguales y no formen un Yahtzee (5/216), por lo que el resultado final de este elemento = 125/216 – 5/216 = 120/216.
De manera similar, la inversa de este truco para la probabilidad de transición de un estado de par 2 a tres de un estado tipo 3. Aquí la probabilidad básica de pasar del estado 2 al estado 3 es de 75/216 (se tiran tres dados, con 1/6 de posibilidades de acertar, luego dos 5/6 de posibilidades de fallar, y hay tres combinaciones de formas de conseguirlo que son 3 x 1/6 x 5/6 x 5/6). ¡A esta probabilidad básica de 75/216, tenemos que añadir la probabilidad de 5/216 de arriba que llegamos a tres de un tipo a través de esta ruta alternativa.
Así, el elemento final necesario para completar nuestra Matriz de Transición del estado 2 al estado 3 es 75/216 + 5/216 = 80/216.
También es un alivio calcular que las probabilidades de esta fila suman 1,0! (120/216 + 80/216 + 15/216 + 1/216). Esto ayuda a confirmar que nuestros cálculos son correctos.
¡Nuestra Matriz de Transición está ahora completa!
Multiplicación de la Matriz
Ahora introducimos un vector columna de identidad y lo multiplicamos por la Matriz de Transición. La salida del vector fila resultante muestra las probabilidades de la distribución de los estados en los que podría estar el dado. Ahora podemos tomar esta salida y utilizarla de nuevo como entrada y esta vez la salida es la superposición de las probabilidades de los dados al final de la segunda tirada. Para obtener la probabilidad de obtener un Yahtzee en (o antes de) tres tiradas, multiplicamos una última vez y leemos el resultado del primer elemento (estado 5) en el vector de salida final.
(A partir de este punto, estoy cambiando a decimales/porcentajes para representar las probabilidades porque las fracciones involucradas son demasiado desgarradas para introducir y leer).
Resultados
La probabilidad de sacar un Yahtzee es del 4,6029%
Gráficos bonitos
Si has fallado tu tirada de Yahtzee, ¿qué pasa si vuelves a tirar? (¡como a veces intentan hacer mis hijos!) ¿Y otra vez? ¿Y otra vez? …
Abajo hay un gráfico que muestra el porcentaje de posibilidades de conseguir un Yahtzee en n tiradas. El eje x es el número de tiradas, y el eje y muestra el porcentaje de probabilidad.
La curva asimila al 100%, y cruza por encima del 50% en la tirada #10. Para tener un 95% de seguridad de sacar un Yahtzee se necesitan 23 tiradas.
|
A menudo se falla un intento de Yahtzee. ¿Cuál es el desglose de las probabilidades? ¿Qué probabilidades hay de que acabes con un Cuatro de la misma clase al tirar por tu Yahtzee? Esta información es fácil de obtener leyendo el valor del vector de salida de la cadena de Markov para el estado 4. (La probabilidad de que acabe con Cuatro de una clase en tres tiradas es del 24,476%, y Tres de una clase es del 45,240%). La tabla de la izquierda muestra el desglose de porcentajes para las primeras 25 tiradas. Abajo están los mismos datos presentados en formato gráfico. Observe que después de 9 tiradas, el Yahtzee se convierte en el evento más probable, y la probabilidad de terminar con un par o Singleton cae rápidamente hasta el ruido.
|