Hay muchas pruebas. Mi favorita dice así. Al parecer se debe a un jovencísimo Albert Einstein, pero parece que es difícil de verificar.

Los triángulos rectos tienen una bonita propiedad por la que, dado un triángulo rectángulo, se puede trazar una línea perpendicular a la hipotenusa que pase por el ángulo recto, y esa línea divide el triángulo en dos copias más pequeñas de sí mismo. Esa línea se llama altitud. Aquí tienes una imagen de cómo funciona. Deberías ser capaz de convencerte de que los triángulos más pequeños formados por la altitud son, efectivamente, copias del triángulo grande: tiene que ver con el hecho de que los ángulos de un triángulo suman 180 grados.

En fin, allá va. En primer lugar, pensemos en el teorema, no como una fórmula, sino como una afirmación sobre geometría. El teorema dice que para un triángulo rectángulo con lados a, b y c (donde la hipotenusa es c), el área del cuadrado cuyo lado es c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son a y b. He aquí una ilustración. La suma de las áreas de los cuadrados azul y naranja es igual al área del cuadrado púrpura.

Para demostrarlo, considera un triángulo rectángulo arbitrario con lados a, b, c, y utilizando la altitud, divídelo en las pequeñas copias de sí mismo como hemos comentado anteriormente. Es posible que quieras coger un bolígrafo y dibujar diagramas para seguir aquí. Vamos a pensar en las áreas de las pequeñas copias, así como en el triángulo grande, así que vamos a darles algunos nombres. A es el área del triángulo pequeño con la hipotenusa a, B es el área del triángulo pequeño con la hipotenusa b y C es el área del triángulo grande (con la hipotenusa c, por supuesto). De nuevo, haz un dibujo si no puedes ver esto en tu mente.

Ahora, claramente: A + B = C. Recuérdalo y apártalo.

Nota que los cuadrados tienen todos lados iguales a la hipotenusa de sus correspondientes triángulos. Pensemos por ahora en la forma de casita que se forma a lo largo del lado a, es decir, el triángulo con área A y el cuadrado con área a2. Sea r el cociente entre el área del triángulo en forma de casa y el área del cuadrado, de modo que

A = ra2

Dependiendo de cómo hayas dibujado el triángulo en primer lugar, r puede ser grande o pequeño. Lo divertido de esta prueba es que r acaba ayudándonos aunque no importe lo que sea.

Cambiemos nuestro enfoque a la forma de casa formada a lo largo del lado b. Ahora, como el triángulo con área B es una copia exacta del triángulo con área A, pero sólo de diferente tamaño (a menos que hayas dibujado un triángulo isósceles, en cuyo caso también es del mismo tamaño), la proporción entre las áreas de ese triángulo y su correspondiente cuadrado es la misma. Es decir, como esta forma de casa es sólo una copia a escala de la primera forma de casa, se mantiene la misma relación:

B = rb2

Por último, puedes ver que la misma relación se mantendrá para la forma de casa más grande, hecha a partir del triángulo original, ya que es sólo una copia a escala de las más pequeñas también.

C = rc2

Combinando estas últimas identidades con la primera ecuación, podemos escribir

ra2 + rb2 = rc2

Dividiendo por r se obtiene el resultado deseado 🙂