No sé si buscas una respuesta más matemática o sólo el «por qué», pero para responder al por qué, empezaré con algo de historia sobre esto.

A todos los que elaboraron un modelo para el Sistema Solar, desde Aristóteles hasta Copérnico, les gustaban los círculos. Aunque Copérnico razonó correctamente que la Tierra se movía alrededor del Sol y no el Sol alrededor de la Tierra, siguió utilizando los círculos en sus modelos del movimiento de los planetas.

Después de Copérnico, Tycho Brahe, financiado por el rey de Dinamarca, tenía el mejor equipo de la época para observar el movimiento de las estrellas y los planetas y fue capaz de hacer cartas estelares que eran diez veces más precisas que cualquiera antes de él. Brahe utilizaba equipos como este cuadrante mural, y un gran observatorio privado para tomar registros extremadamente precisos.

Kepler, que era mejor matemático que Brahe, quería desesperadamente hacerse con las cartas estelares de Brahe y con el uso de su observatorio y equipos (hasta el punto de que cuando Brahe murió, se rumoreó que Kepler lo había envenenado, aunque probablemente no fue así). Cuando Kepler tuvo por fin todo a su disposición, pudo resolver las cosas y estudiar el Sistema Solar con mayor precisión. Sin embargo, seguía sin saber por qué los planetas se movían en elipses; sólo había averiguado que las elipses se ajustaban tan bien al movimiento que casi seguro que tenía que ser cierto, pero no tenía ni idea de por qué.

A Kepler, de hecho, no le gustaban las elipses. Le gustaban más los círculos, pero no podía negar que las elipses funcionaban. Fuente.

Nadie sabía por qué los planetas se movían en elipses hasta que a Isaac Newton le hicieron esa pregunta y tuvo que inventar el cálculo para responderla. El cálculo explica por qué los planetas orbitan en elipses, y esa es la verdadera respuesta.

Si el «cálculo» no es una respuesta satisfactoria, una forma de explicarlo más o menos sería lanzar un centavo desde un transbordador espacial (lo cual no es una buena idea, pero digamos que lo haces). A medida que el penique cae hacia la Tierra, cae cada vez más rápido (si ignoramos la resistencia del aire) hasta que toca el suelo.

Ahora bien, si se lanza el penique desde el transbordador espacial a una velocidad mucho mayor y con un ángulo diferente, de modo que sólo se acerque a la Tierra y no llegue al planeta, en realidad empezaría a orbitar la Tierra. Caería cada vez más rápido hasta que pasara por la Tierra, y entonces, como si disparara una bala al aire, el penique se ralentizaría al pasar por la Tierra.

Según la segunda ley de Kepler, la mayor velocidad del penique se produce en el punto más cercano a la Tierra (el perigeo). Así es como funcionan esencialmente los objetos en órbita: a medida que se acercan al cuerpo que orbitan, se aceleran cada vez más. Nuestro centavo se acelerará tanto que, una vez que dé la vuelta al planeta, saldrá despedido muy lejos, lo que hará que se frene. Esto es lo que crea una órbita elíptica.

Su movimiento es como el de un resorte, cayendo hacia el planeta y luego alejándose, pero al mismo tiempo, orbitando en un movimiento circular con el movimiento del resorte, con 1 período por órbita. Ese movimiento de acercarse y luego alejarse en cada órbita forma una elipse.

Tiene más sentido si se piensa que la velocidad es mayor en el punto más cercano y menor en el punto más lejano. La velocidad baja lo acerca, mientras que la velocidad alta lo aleja. La energía total del objeto en órbita (energía cinética más energía potencial) permanece constante.