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Introducción al cálculo

Capítulo 1 – Introducción

• Sección 1.1 – Por qué estudiar cálculo
• Sección 1.2 – Por qué no estudiar cálculo

Sección 1.1 – Por qué estudiar cálculo

Como estudiante probablemente veas el cálculo como otra memorización ilógica de ecuaciones que uno necesita para pasar por la escuela. Sientes que nunca tendrás que utilizar ninguno de los «galimatías hipotéticos» que aprendes. En consecuencia, abordas la asignatura con indiferencia filosófica y te adaptas a soportar lo que no puedes curar.

Tal vez en algún lugar detrás de este mal sentimiento esté la creencia de que el cálculo es una herramienta necesaria para tu existencia en el mundo real. Independientemente de cómo se defina una existencia exitosa, la comprensión del cálculo no es esencial para tu bienestar. De hecho, es una exageración afirmar que uno lo necesita para llegar a ser incluso un científico.

Después de todo, muchos ingenieros profesionales no dudan en admitir su ignorancia en la materia. La comprensión de dicho ingeniero sobre el cálculo se limita a conocer las ecuaciones y saber utilizarlas. Si un ingeniero tiene una buena idea de lo que puede esperar basándose en la experiencia, entonces el cálculo de los números no es tan importante. Los mejores ingenieros sólo necesitan el cálculo numérico para confirmar lo que creen que puede ser el resultado.

Hasta ahora, esta introducción sólo ha conseguido confirmar lo que usted ya siente sobre su estudio del cálculo, es decir, que es una pérdida de tiempo sin sentido. ¿Por qué tienes que molestarte en aprenderlo mientras otros se las arreglan sin entender nada? ¿Qué más puede haber en el cálculo aparte de la memorización, la manipulación y la frustración? Sin alimentar más tus crecientes sospechas, volvamos a la pregunta original y respondámosla desde un punto de vista puramente no materialista.

¿Por qué estudiar cálculo? La mejor manera de responder a esta pregunta es con otra pregunta: ¿De qué trata el cálculo? Es extremadamente difícil responder a esta pregunta de forma breve y convincente, ya que para ello sería necesario parafrasear todo este libro en unas pocas líneas de texto. Podría presentarles una serie de situaciones en las que se aplica el cálculo, pero eso les daría la falsa impresión de que las aplicaciones prácticas y la teoría matemática están unidas sólo por la casualidad. La definición más sencilla que puedo ofrecer es que el cálculo es el estudio del cambio definido matemáticamente. Hay dos palabras en esa definición que requieren una explicación adicional antes de que pueda tener sentido. Estas palabras son matemáticas y cambio.

¿Qué son las matemáticas? Esencialmente, las matemáticas no son más que el lenguaje de la ciencia. Mientras que la ciencia es un estudio sistemático de la naturaleza, las matemáticas son una forma concisa de comunicación utilizada para representar la naturaleza. La facultad de la razón del hombre le permite observar, diseccionar e hipotetizar la naturaleza y todos sus procesos en curso, de modo que el resultado final de este análisis ordenado son las matemáticas. Pero, ¿qué se entiende por ciencia y naturaleza? En lugar de continuar con preguntas que sólo se responden con generalizaciones, comencemos este estudio del cálculo con un estudio del Hombre.

¿Qué hace que el hombre actúe, piense, sienta, se mueva y funcione? El tema de la filosofía se dedica enteramente a responder a preguntas como éstas, aunque a menudo pregunta más de lo que está preparado para responder. La vida que nos rodea nos desafía constantemente a vivir y responder a lo aparentemente imposible e insondable. Nos enfrentamos a dilemas que requieren nuestro juicio. Sin embargo, el código ético y moral por el que vivimos no es más que un conjunto de contradicciones irónicas. Nos encontramos rodeados de un mar de caos. La vida nos lleva a través de este mar de confusión, sin detenerse en ningún lugar para dejarnos en un destino. La vida parece inútil, sin sentido a la vista.

¿Está el hombre confinado en este estado impotente de la existencia? Para ser sinceros, nadie sabe la respuesta. Sin embargo, podemos buscar la esperanza en la mente. El poder del pensamiento, la razón y la lógica son los que permiten al hombre tomar el control de la vida y, en última instancia, sirven de guía para la iluminación y la sabiduría. Aristóteles consideraba que la felicidad sólo podía alcanzarse cultivando la mente. Escribió:

Ahora bien, la excelencia peculiar del hombre es su poder de pensamiento; es por esta facultad que supera y gobierna otras formas de vida; y como el crecimiento de esta facultad le ha dado la supremacía, así, podemos presumir, su desarrollo le dará plenitud y felicidad.

Esto nos lleva a la pregunta ¿Cómo definimos la razón? Esto es sinónimo de preguntar ¿cómo definen los pensamientos el comportamiento? Cuando eras niño tenías poco control sobre tus acciones. No parecía haber ningún propósito detrás de lo que hacías o de lo que te ocurría. La vida te llevaba, dándote la libertad de disfrutar del paseo.

La idea del libre albedrío ofrece una explicación más plausible de las acciones humanas. Dice que el hombre tiene la libertad de elegir un determinado curso de acción. Las acciones son el resultado de elecciones; elecciones que somos libres de hacer.

La rama de la filosofía conocida como determinismo lleva el libre albedrío un paso más allá para explicar por qué el hombre elige actuar de una manera en lugar de otra. Cuando el hombre se enfrenta a una situación, la línea de acción que decide tomar se basa en la experiencia, los intereses personales y las preferencias. Por tanto, las decisiones que tomamos están totalmente influenciadas por nuestras experiencias pasadas. La voluntad no es libre de comportarse por sí misma. Por ejemplo, mi decisión de escribir este libro no se basó en un instinto impulsivo, sino en un cúmulo de circunstancias a las que estuve expuesto y contra las que reaccioné.

Cualquier acción, desde la más aleatoria hasta la más perversa, puede explicarse por el conjunto de situaciones, experiencias, pensamientos y sentimientos que precedieron a esa acción. Esencialmente, el determinismo dice que nuestras vidas están predeterminadas hasta el punto de que, independientemente de cómo vivamos, nunca podremos cambiar el curso de nuestra vida. Como dijo un pensador francés, «cambiamos, pero seguimos siendo los mismos». La lógica que subyace a esta afirmación es que si nuestro pasado no puede cambiarse nunca, nuestro futuro será siempre el mismo. Cada acción está dictada por la anterior.

Es en este punto donde la ciencia y el arte divergen. Para el científico, el determinismo es una explicación suficientemente precisa de la vida humana, ya que dice que todo lo que ocurre, ocurre por un conjunto de razones. Observar y comprender este conjunto de razones se convierte en el trabajo del científico. El artista, sin embargo, interpreta el determinismo como si dijera: «Como todo en la vida está predeterminado, la vida no tiene sentido».

Puede que la vida no tenga sentido, pero el objetivo del artista es cuestionar esa afirmación explorando las misteriosas profundidades de la naturaleza humana y del corazón. Tal vez sea la absoluta aleatoriedad de la vida lo que nos hace ignorar nuestro destino inmutable. Ningún ser humano tiene control alguno sobre las acciones a las que se verá expuesto. El destino empieza a perder sentido, ya que uno nunca sabe lo que le va a pasar. Se necesita el riesgo del artista para crear un caos del que surja la sabiduría.

Por otro lado, el estudio de la naturaleza es más preciso y es menos probable que esté influenciado por una gran variedad de factores no relacionados. Dentro de la naturaleza, todas las acciones, sucesos o cambios dependen de unos pocos factores que pueden ser cuidadosamente aislados y estudiados individualmente. La ciencia consiste específicamente en analizar estos sistemas que interactúan y luego formar hipótesis que puedan explicarlos con precisión.

Lo que hace que la observación de los fenómenos en la naturaleza sea tan interesante es que siempre ocurren en un entorno cerrado en el que los factores externos pueden eliminarse fácilmente para dejar sólo unos pocos objetos que interactúan. Son estos objetos, junto con sus propiedades, los que se convierten en el foco de estudio. Cualquier intento de explicar lógicamente su interacción única debe provenir de los propios objetos y no de factores externos imaginarios. Mediante el razonamiento y la observación se puede comprender la naturaleza, de manera que el futuro puede determinarse a partir del presente. Como Sherlock Holmes solía advertir a Watson: «¡Usted ve pero no observa!». A menudo, los seres humanos no comprenden esta sencilla regla de la naturaleza, atribuyendo ignorantemente a los dioses, a los cielos o a alguna sustancia misteriosa con superpoderes cualquier fenómeno que se produzca de forma natural. Comprender y aceptar la verdad requiere una mente abierta y crítica. Charlotte Bronte escribió con humor sobre este irónico defecto de la naturaleza humana en su popular novela, Shirley.

¡Atentos! Cada vez que presentas la verdad real, simple, es de alguna manera siempre denunciada como una mentira: la repudian, la desechan, la arrojan a la parroquia; mientras que el producto de tu propia imaginación, la mera invención, la pura ficción, es adaptada, calificada como bonita, apropiada, dulcemente natural: el pequeño infeliz espurio obtiene todos los beneficios – el honesto y legítimo se lleva todas las esposas. Así es el mundo…».

La ciencia no sólo se ve obstaculizada por la ignorancia y el engaño, sino también por la labor del pseudocientífico. El pseudocientífico es descrito por el filósofo español, José Ortega, en su impresionante libro sobre la civilización occidental moderna, La rebelión de las masas:

«… Hacia 1890 una tercera generación toma el mando en el mundo intelectual, y encontramos un tipo de científico sin precedentes en la historia. Es una persona que sabe, de todo lo que debe saber un hombre de rutina, sólo algo de una ciencia específica; incluso de esta ciencia, está bien informado sólo dentro de esa área limitada en la que es un investigador activo. Incluso puede llegar a afirmar que tiene una ventaja al no cultivar lo que se encuentra fuera de su propio campo estrecho, y puede declarar que la curiosidad por el conocimiento general es el signo del aficionado, del diletante.

Inmerso en su pequeño ámbito, logra descubrirnuevos hechos, hace avanzar la ciencia que apenas conoce, y aumentaperfectamente la enciclopedia de los conocimientos que ignora a conciencia…»

El premio Nobel de Física Richard Feynman escribió las siguientes observacionessobre los diferentes tipos de pseudocientíficos que conoció en una conferencia. La mayoría de los trabajos de los científicos caían en una de estas categorías:

1. Completamente incomprensible
2. Vago e indefinido
3. Algo correcto que es obvio y evidente, elaborado mediante un largo y difícil análisis y presentado como un descubrimiento importante
4. Una afirmación basada en la estupidez del autor de que alguna cosa obvia y correcta aceptada y comprobada durante años es en realidad falsa
5. Un intento de hacer algo probablemente imposible pero ciertamente inútil que al final se revela que fracasa
6. Simplemente erróneo

Una de las notables obras maestras de la mente es la ciencia de las matemáticas, a menudo llamada la ciencia del razonamiento deductivo. Mientras que la ciencia es un sistema lógico de pensamiento utilizado para estudiar el mundo natural, las matemáticas son el lenguaje preciso de la ciencia. Es la forma de comunicación del análisis científico. Los números y los símbolos no son más que vagas abstracciones si no se refieren a algo concreto. Es el análisis científico el que determina la estructura de las matemáticas.

A través de las matemáticas somos capaces de definir el presente. El presente sólo depende de las condiciones que existen en el breve marco de tiempo que ocupa. Rápidamente se desvanece ante nuestros ojos, convirtiéndose en un recuerdo. El objetivo de la ciencia es definir el mundo objetivo en términos de condiciones cuantificables existentes expresadas por las matemáticas. Nuestras dimensiones o propiedades permanecen fijas y no cambian.

Es cuando nuestras dimensiones cambian cuando nuestro estudio se complica un poco más y surge el cálculo. Pero primero, ¿qué se entiende por cambio? Para entender el cambio tenemos que explicar el concepto de tiempo. Por definición, el tiempo es el paso de los acontecimientos, de manera que para que el tiempo transcurra, algo debe cambiar con respecto a sí mismo. Por ejemplo, un objeto en movimiento implica un cambio en la distancia recorrida desde un punto de referencia. Esto constituye un acontecimiento que define el tiempo. O un aumento de la temperatura implica que la temperatura está cambiando, ocupando así el tiempo. Los cambios son los resultados de las acciones que comprenden una situación.

Si bien el cálculo es el estudio del cambio definido matemáticamente, no es necesariamente el estudio del tiempo solamente. En la ciencia, otras dimensiones pueden cambiar con respecto a otras. Por ejemplo la velocidad puede cambiar con la altura, la temperatura cambiar con la energía, la densidad cambiar con la profundidad, la fuerza cambiar con la masa etc.

Cuando una dimensión está cambiando con respecto a sí misma, decimos que está cambiando con respecto al tiempo. Cuando los factores cambian unos con respecto a otros, prescindimos del efecto que el tiempo tiene sobre los factores y procedemos a analizar sólo las dimensiones que interactúan. Suponemos que nuestros factores son constantes que cambian entre sí, no con el tiempo. El cálculo es, pues, la rama de las matemáticas que se utiliza para estudiar cualquier fenómeno que implique un cambio. El cambio es un concepto relativo que puede implicar cualquier par de dimensiones, tiempo, fuerza, masa, longitud, temperatura, etc. Esto puede sonar un poco abstracto pero se hará mucho más claro a medida que sigamos el curso.

Con esto concluye la respuesta a lo que es el cálculo. Puede que no te parezca que he respondido a la pregunta original publicada, » ¿Por qué estudiar cálculo?». El propósito de estudiar cálculo es simplemente introducir tu mente en el método científico de análisis. A través de la ciencia, se pueden identificar problemas prácticos, generar explicaciones y seleccionar soluciones lógicas. El objetivo es que entiendas cómo aplicar tu mente de forma sistemática para entender el mundo que te rodea.

La ingeniería se basa más en este enfoque lógico fundamental para la resolución de problemas que en la mera manipulación de números y fórmulas. Por esta razón, muchos ingenieros han olvidado todos los teoremas del cálculo, pero lo que queda es el importante marco conceptual del método y la aplicación. Los ingenieros suelen admitir en broma que «no conocemos todas las matemáticas, pero sí el resultado final». »

El buen sentido de la ingeniería se define como la capacidad de identificar rápidamente un problema, idear soluciones prácticas y luego seleccionar la opción más eficiente. Muchos problemas del mundo real son independientes de cualquier matemática compleja, pero se requiere el mismo enfoque científico sistemático para resolverlos. La aplicación de una lógica sólida es todo lo que se necesita para reducir las complejidades a simplicidades.

Al principio de la introducción afirmé que era una exageración afirmar que uno necesita el cálculo para convertirse en científico. Aquellos ingenieros y científicos que se arreglan con un conocimiento superficial de la materia caen en el terreno de los pseudocientíficos y los charlatanes. Como escribió Ortega, el pseudocientífico, «adelanta la ciencia que apenas conoce, y aumenta forzosamente la enciclopedia de conocimientos que ignora a conciencia…». Es la emoción y la iluminación de comprender la naturaleza lo que impulsa al científico. El ingeniero lleva la ciencia un paso más allá para controlar la naturaleza y adaptarla a las necesidades del hombre. Tanto el ingeniero como el científico comparten un profundo aprecio por el funcionamiento de la naturaleza; un aprecio que se convierte en sabiduría.

Por lo tanto, el propósito de estudiar cálculo es doble. En primer lugar, introducirte en los conceptos básicos de las matemáticas que se utilizan para estudiar casi cualquier tipo de fenómeno cambiante dentro de un entorno controlado. En segundo lugar, el estudio del cálculo desarrollará en ti un inestimable sentido científico y habilidades prácticas para la resolución de problemas de ingeniería. Entenderás cómo pensar de forma lógica para reducir incluso los sistemas más complejos a unos pocos componentes que interactúan. A medida que estudie los principales conceptos, teorías y ejemplos de este libro, su mente se convertirá en un poderoso instrumento sistemático.

Para concluir con una nota de humor, lea el siguiente ensayo satírico de The Onion en el capítulo sobre1925 de su libro, Our DumbCentury.

¿Debemos enseñar a nuestros hijos los hechos? No, yo digo, ¡mil veces no! Cuando crezcan y se conviertan en los granjeros, las amas de casa, los trabajadores de las fábricas y los mineros del carbón, los hechos son lo último que necesitarán. ¡Son los modales! ¡Servidumbre! Sobre todo, obediencia. ¡Hablar sólo cuando se les habla y no causar problemas! Estos son los principios sobre los que se basa nuestro sistema educativo. ¿Por qué, en nombre de Dios, habríamos de sustituirlo por un sistema que realmente anima a un hombre ignorante a hacer preguntas? Un buen ciudadano no hace nada de eso. Se contenta con las razones que le dan sus superiores.

Preguntas

1. ¿Ha creado Dios al hombre o el hombre a Dios? Algunos dicen que el hombre y la naturaleza están demasiado bien hechos para suceder al azar. Las muchas leyes físicas de este universo deben ser hechas por un creador, al igual que las leyes de tráfico son hechas por el hombre. Aunque la evolución pueda parecer aleatoria, en realidad es una acumulación de cambios infinitos a lo largo del tiempo. Lo que vemos es sólo el estado actual, no las infinitas capas que se han establecido a lo largo de la eternidad. Por esta razón, es fácil concluir que el estado actual es demasiado perfecto para entenderlo. Pero cuando se estudia cómo se produce cada capa de la evolución, resulta bastante fácil comprender cómo se puede alcanzar la complejidad a partir de los cambios más simples acumulados a lo largo del tiempo. Comente esta cuestión en relación con su opinión sobre la religión y la ciencia.
2. La paradoja de la vida es que hay que sufrir para disfrutarla. O bien considere la cita del padre del movimiento olímpico moderno: «Lo más importante en los Juegos Olímpicos no es ganar sino participar, así como lo más importante en la vida no es el triunfo sino la lucha. Lo esencial no es haber vencido sino haber luchado bien. «¿Qué piensa usted? ¿La vida consiste en los logros o en el camino hacia esos logros?
3. El mundo contiene miles de culturas. Cada cultura tiene su propio conjunto de moral y normas que la sociedad trata de seguir. Lo que una cultura considera bueno, otra puede considerarlo tabú. Aunque la mayoría de las personas son fundamentalmente buenas, hay poca coherencia entre el comportamiento socialmente aceptado. ¿La moral es absoluta o sólo existe en relación con los demás? En otras palabras, ¿crees que ciertas acciones pueden ser juzgadas como buenas o malas, independientemente de la educación personal? ¿Qué aspectos de tu cultura podrían ser percibidos como extraños o negativos por alguien de otra cultura?

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