Imagina que luchas en una guerra en 10 campos de batalla. Usted y su oponente tienen cada uno 200 soldados, y su objetivo es ganar tantas batallas como sea posible. ¿Cómo desplegarías tus tropas? Si las distribuyes uniformemente, enviando 20 a cada campo de batalla, tu oponente podría concentrar sus propias tropas y ganar fácilmente la mayoría de los combates. Podrías intentar arrollar tú mismo varios lugares, pero no hay garantía de que ganes, y dejarías los campos de batalla restantes mal defendidos. Idear una estrategia ganadora no es fácil, pero mientras ninguno de los dos bandos conozca el plan del otro de antemano, es una lucha justa.

Ahora imagina que tu oponente tiene el poder de desplegar tus tropas además de las suyas. Aunque tengas más tropas, no podrás ganar.

En la guerra de la política, este poder de desplegar fuerzas proviene del gerrymandering, la antigua práctica de manipular los distritos electorales para obtener beneficios partidistas. Al determinar quién vota dónde, los políticos pueden inclinar las probabilidades a su favor y derrotar a sus oponentes incluso antes de que comience la batalla.

En 1986, el Tribunal Supremo declaró inconstitucionales los gerrymanders partidistas extremos. Pero sin una prueba fiable para identificar los mapas de distritos injustos, el tribunal aún no ha desechado ninguno. Ahora, mientras el más alto tribunal del país escucha los argumentos a favor y en contra de la impugnación del mapa de distritos de la asamblea estatal de Wisconsin, los matemáticos están en primera línea de la lucha por la equidad electoral.

Las matemáticas sencillas pueden ayudar a los políticos intrigantes a trazar distritos que den a su partido una influencia desmesurada, pero las matemáticas también pueden ayudar a identificar y remediar estas situaciones. El verano pasado se reunió en la Universidad de Tufts el Grupo de Geometría Métrica y Gerrymandering, dirigido por el matemático Moon Duchin, en parte para debatir nuevas herramientas matemáticas para analizar y abordar el gerrymandering. La «brecha de eficiencia» es una idea sencilla que está en el centro de algunas de las herramientas que está considerando el Tribunal Supremo. Exploremos este concepto y algunas de sus ramificaciones.

Empecemos por imaginar un estado con 200 votantes, de los cuales 100 son leales al partido A y 100 al partido B. Supongamos que el estado necesita elegir cuatro representantes y, por tanto, debe crear cuatro distritos de igual tamaño electoral.

Imagina que tienes el poder de asignar a los votantes a cualquier distrito que desees. Si usted favorece al partido A, podría distribuir los 100 votantes A y los 100 votantes B en los cuatro distritos de la siguiente manera:

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Con distritos construidos de esta manera, el partido A gana tres de las cuatro elecciones. Por supuesto, si se prefiere el partido B, se podrían distribuir los votantes de esta manera:

Aquí, los resultados se invierten, y el partido B gana tres de las cuatro elecciones.

Nótese que en ambos escenarios vota el mismo número de votantes con las mismas preferencias en el mismo número de elecciones. Cambiar sólo la distribución de los votantes entre los distritos altera drásticamente los resultados. La capacidad de determinar los distritos electorales confiere mucho poder, y atender a unas simples matemáticas es todo lo que se necesita para crear una ventaja electoral.

¿Qué pasaría si, en lugar de crear una ventaja para un partido sobre el otro, quisieras utilizar tu poder para crear distritos justos? En primer lugar, habría que determinar qué significa «justo», y eso puede ser complicado, ya que los ganadores y los perdedores suelen tener diferentes perspectivas sobre la justicia. Pero si empezamos con algunas suposiciones sobre lo que significa «justo», podemos intentar cuantificar la equidad de diferentes distribuciones de votantes. Podemos discutir sobre esos supuestos y sus implicaciones, pero adoptando un modelo matemático podemos intentar comparar diferentes escenarios. La brecha de eficiencia es un enfoque para cuantificar la equidad de una distribución de votantes.

Para entender la brecha de eficiencia, podemos empezar con la observación de que, en una serie de elecciones relacionadas, no todos los votos tienen el mismo impacto. Algunos votos pueden marcar una gran diferencia y otros pueden considerarse «desperdiciados». La disparidad de votos desperdiciados es la brecha de eficiencia: Mide cómo se distribuyen los votos desperdiciados entre los partidos que compiten de forma equitativa o desigual.

Entonces, ¿qué cuenta como un voto desperdiciado? Consideremos el papel de California en las elecciones presidenciales. Desde 1992, California siempre ha apoyado al candidato demócrata a la presidencia. Por lo tanto, los republicanos californianos saben que es casi seguro que apoyen a un candidato perdedor. En cierto sentido, su voto es un desperdicio: si se les permitiera votar en un estado de pronóstico reservado como Florida, su voto podría marcar una mayor diferencia. Desde el punto de vista de los republicanos, ese sería un uso más eficiente de su voto.

Resulta que los votantes demócratas de California pueden argumentar de forma similar que su voto es un desperdicio. Dado que el candidato demócrata probablemente ganará California de forma aplastante, muchos de sus votos, en cierto sentido, también son desperdiciados: Tanto si el candidato gana California con el 51% de los votos como con el 67%, el resultado es el mismo. Esos votos ganadores adicionales no tienen sentido.

Por lo tanto, en el contexto de la brecha de eficiencia, hay dos tipos de votos desperdiciados: los de un candidato perdedor y los de un candidato ganador que van más allá de lo necesario para la victoria (para simplificar, tomamos el umbral de la victoria como el 50%, aunque esto podría resultar técnicamente en un empate; un empate real es más que improbable con cientos de miles de votantes en cada distrito del Congreso). En unas elecciones con varios distritos, es probable que cada partido tenga votos desperdiciados de cada tipo. La brecha de eficiencia es la diferencia en los totales de los votos desperdiciados por cada partido, expresada como porcentaje del total de votos emitidos. (Restamos la cifra menor de la mayor cuando es posible, para garantizar una brecha de eficiencia no negativa. También podríamos tomar el valor absoluto de la diferencia.)

Volvamos a nuestros escenarios de cuatro distritos y examinemos sus brechas de eficiencia. Nuestra primera distribución tenía este aspecto.

En este escenario, 75 de los votos de B se desperdician: 60 en causas perdedoras y 15 más de los 25 necesarios para ganar el distrito 4. Sólo se desperdician 25 de los votos del partido A: 5 votos extra en cada victoria y 10 votos perdedores. La diferencia bruta de votos desperdiciados es de 75 – 25 = 50, por lo que la brecha de eficiencia aquí es de 50/200 = 25 por ciento. Decimos que la brecha de eficiencia del 25 por ciento favorece al partido A, ya que el partido B tuvo el mayor número de votos desperdiciados. En el segundo escenario, donde los números se invierten, la brecha de eficiencia del 25 por ciento ahora favorece al partido B.

¿Puede la brecha de eficiencia darnos una idea de la equidad de una distribución? Pues bien, si uno tiene el poder de crear distritos electorales y quiere conseguir victorias para su partido, su estrategia consistiría en minimizar los votos perdidos para su partido y maximizar los votos perdidos para su oponente. Para ello, se emplea una técnica conocida como «packing and cracking»: Los votos de la oposición se empaquetan en un pequeño número de distritos concedidos, y el bloque de votos restante se fragmenta y se reparte por el resto de los distritos para minimizar su impacto. Esta práctica crea naturalmente grandes lagunas de eficiencia, por lo que cabría esperar que las distribuciones más justas tuvieran lagunas menores.

Examinemos más a fondo las lagunas de eficiencia imaginando nuestro estado de 200 votantes ahora dividido en 10 distritos iguales. Consideremos la siguiente distribución de votantes, en la que el partido A gana 9 de los 10 distritos.

En la superficie, esto no parece una distribución justa de los votantes. ¿Qué dice la brecha de eficiencia?

En este escenario, casi todos los votos del partido B se desperdician: nueve votos perdidos en cada uno de los nueve distritos, más nueve votos en exceso en una victoria, para un total de 90 votos desperdiciados. Los votantes del partido A son mucho más eficientes: sólo se desperdician 10 votos en total. Hay una diferencia de 90 – 10 = 80 votos desperdiciados y una diferencia de eficiencia de 80/200 = 40 por ciento, que favorece al partido A.

Compárese con la siguiente distribución, en la que el partido A gana 7 de los 10 distritos.

Aquí, el recuento de votos desperdiciados es de 70 para el partido B y 30 para el partido A, lo que produce una brecha de eficiencia de 40/200 = 20 por ciento. Una distribución aparentemente más justa resulta en una brecha de eficiencia menor.

Como ejercicio final, considere esta división uniforme de las elecciones de distrito.

La sola simetría sugiere la respuesta, y los cálculos lo confirman: 50 votos desperdiciados por cada partido significa una brecha de eficiencia del 0 por ciento. Obsérvese que una brecha de eficiencia del 0% corresponde a una noción independiente de equidad: Es decir, con los votantes de todo el estado divididos por igual entre ambos partidos, parece razonable que cada partido gane la mitad de las elecciones.

Estos ejemplos elementales demuestran la utilidad de la brecha de eficiencia como medida de equidad electoral. Es fácil de entender y calcular, es transparente y sus interpretaciones son coherentes con otras nociones de equidad. Es una idea sencilla, pero que se está utilizando de diversas y complejas maneras para estudiar el gerrymandering. Por ejemplo, los matemáticos están utilizando simulaciones para considerar millones de mapas electorales teóricos para un estado determinado y luego examinar la distribución de todas las posibles brechas de eficiencia. Esto no sólo crea un contexto para evaluar la equidad de un mapa actual frente a otras posibilidades, sino que también puede utilizarse potencialmente para sugerir alternativas más justas.

Aunque los votantes no se asignan realmente a los distritos de la forma que hemos imaginado en nuestros ejemplos, la práctica del gerrymandering consigue resultados similares. Al redibujar estratégicamente los límites de los distritos, los gerrymanderers pueden diseñar distribuciones de votos para crear un campo de juego electoral desigual. Estas luchas injustas afectan al modo en que se gobierna y ayudan a los titulares de los partidos mayoritarios a ser reelegidos legislatura tras legislatura. El caso presentado ante el Tribunal Supremo se refiere a uno de los muchos mapas potencialmente injustos. Herramientas matemáticas objetivas como la brecha de eficiencia pueden ser la única manera de erradicar el gerrymandering y mantener nuestros campos de batalla políticos en equilibrio.

Descarga la hoja de trabajo en PDF «Doing the Political Math» para practicar estos conceptos o para compartir con los estudiantes.