Aproximación
Solución paso a paso :
Calculadora de raíces de polinomios :
1.1 Encontrar raíces (ceros) de : F(x) = x5-x-1
La Calculadora de Raíces de Polinomios es un conjunto de métodos destinados a encontrar valores de x para los que F(x)=0
El Test de Raíces Racionales es una de las herramientas mencionadas anteriormente. Sólo encontraría Raíces Racionales, es decir, números x que pueden expresarse como el cociente de dos enteros
El Teorema de la Raíz Racional establece que si un polinomio es cero para un número racional P/Q entonces P es un factor de la Constante Final y Q es un factor del Coeficiente Principal
En este caso, el Coeficiente Principal es 1 y la Constante Final es -1.
Los factores son:
del Coeficiente Principal : 1
de la Constante Final : 1
Probemos ….
| P | Q | P/Q | F(P/Q) | Divisor | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -1 | 1 | -1.00 | -1.00 | ||||||
| 1 | 1 | 1.00 | -1.00 |
La calculadora de raíces polinómicas no encontró raíces racionales
Ecuación al final del paso 1 :
x5 - x - 1 = 0
Paso 2 :
Ecuaciones de orden 5 o superior :
2.1 Resuelve x5-x-1 = 0
Puntos relativos a las ecuaciones de grado cinco o superior.
(1) No existe un método general (Fórmula) para resolver ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior.
(2) Por el Teorema Fundamental del Álgebra, si permitimos números complejos, una ecuación de grado n tendrá exactamente n soluciones
(Esto es si contamos las soluciones dobles como 2 , las soluciones triples como 3 y así sucesivamente
) (3) Por el teorema de Abel-Ruffini, las soluciones no siempre se pueden presentar de la manera convencional utilizando sólo una cantidad finita de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o extracciones de raíces
(4) Si F(x) es un polinomio de grado impar con coeficientes reales, entonces la ecuación F(X)=0 tiene al menos una solución real.
(5) Utilizando métodos como el Método de Bisección, las soluciones reales pueden aproximarse con cualquier grado de precisión deseado.
Aproximación de una raíz utilizando el Método de Bisección :
Ahora utilizamos el Método de Bisección para aproximar una de las soluciones. El Método de Bisección es un procedimiento iterativo para aproximar una raíz (Raíz es otro nombre para la solución de una ecuación).
La función es F(x) = x5 – x – 1
En x= 1,00 F(x) es igual a -1,00
En x= 2,00 F(x) es igual a 29.00
Intuitivamente pensamos, y con razón, que como F(x) es negativa en un lado del intervalo, y positiva en el otro lado entonces, en algún lugar dentro de este intervalo, F(x) es cero
Procedimiento :
(1) Encuentre un punto «Izquierda» donde F(Izquierda) < 0
(2) Encuentre un punto ‘Derecha’ donde F(Derecha) > 0
(3) Calcule ‘Medio’ el punto medio del intervalo
(4) Calcule Valor = F(Medio)
(5) Si Valor es lo suficientemente cercano a cero vaya al Paso (7)
Else :
Si Valor < 0 entonces : Izquierda <- Medio
Si Valor > 0 entonces : Derecha <- Medio
(6) Vuelve al Paso (3)
(7) ¡Hecho¡!! La aproximación encontrada es Middle
Sigue los movimientos de Middle para entender cómo funciona :
Left Value(Left) Right Value(Right) 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 0.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 2.000000000 29.000000000 1.000000000 -1.000000000 1.500000000 5.093750000 1.000000000 -1.000000000 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.250000000 0.801757812 1.125000000 -0.322967529 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.187500000 0.173892021 1.156250000 -0.089639038 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.171875000 0.038197125 1.164062500 -0.026683718 1.167968750 0.005513586 1.166015625 -0.010645540 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167968750 0.005513586 1.166992188 -0.002581134 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167480469 0.001462432 1.167236328 -0.000560299 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167358398 0.000450830 1.167297363 -0.000054794 1.167327881 0.000198003 1.167297363 -0.000054794 1.167312622 0.000071601 1.167297363 -0.000054794 1.167304993 0.000008403 1.167301178 -0.000023196 1.167304993 0.000008403
El siguiente Middle nos acercará bastante a cero:
F( 1,167304039 ) es 0,000000503
La aproximación deseada de la solución es:
x ≓ 1,167304039
Nota, ≓ es el símbolo de aproximación